Tétel 4 (második szélsőérték elegendő vizsgált)
Tétel 4 (második Extremum elegendő vizsgált). Ha a pont körül egy folyamatos második derivált, és. majd a funkció akkor maximális, ha, és legalább, ha.
Bizonyítás. Let. Figyelembe véve a folytonosság, van egy bizonyos pontján a környezet, amelyben. Ezért ebben a környezetben, a funkció lesz csökken, mivel annak származéka - - negatív. De ezért az átmeneti (balról jobbra) a ponton át a függvény előjelet származó plusz mínusz. Ez azt jelenti, hogy azon a ponton, a funkció maximum.
Hasonlóképpen tudjuk bizonyítani, hogy és mikor, akkor - legalábbis a funkciót.
Ha egy bizonyos kritikus pontot, majd a második szabály nem alkalmazható, és a vizsgálatot el kell végezni az első derivált (az tétel 3).
3. példa. Vizsgáljuk a magasságra és a mélypontra.
Találunk a származék.
Nullának, és megtalálja a gyökereit, hogy a kritikus pont
Kiszámoljuk a második derivált
Behelyettesítve a kifejezés a második derivált megtalálta a gyökerek az első derivált, kapjuk (a szabály nem alkalmazható) (maximum), (legalább).
Tekintettel arra, hogy az, igénybe az első szabály. Van itt a (még).
A derivatív nem változik jel, szélsőérték ponton sem.
A magasságra és Louis elméleti feladatok megoldani számos problémát geometriából, gazdaság, mechanika és más tudományok.
4.3. Mivel a legkisebb és legnagyobb értékét
Nézzük meg a probléma megtalálni a legkisebb és legnagyobb értékét a folytonos, az [a; b]. Weierstrass tétel (.., lásd: 7. fejezet, 1. §) köteles megszerezni függvényében ezek az értékek néhány ponton [a; b]. Ez lehet például egy belső pontja, és a végeit.
Következésképpen a megállapítás a legkisebb (legnagyobb) érték folyamatos [a; b] funkciót kell találni a helyi szélsőérték az (a, b), és hasonlítsa össze őket az értékeket. A legalacsonyabb (a legtöbb) ezek az értékek, és a legkisebb (legnagyobb) érték függvény intervallumon [a; b].
Előfordulhat, hogy a funkció (a, b) nincs szélsőérték pont. Ebben az esetben a legkisebb (a legnagyobb) érték között az értékek és a.
A gyakorlati munka egyik szem előtt kell tartani, hogy mivel a legkisebb (a legnagyobb) érték érhető el a kritikus pontot, vagy a végpontokon, nem szükséges, hogy ellenőrizze a rendelkezésre álló elégséges feltételei szélsőérték a függvény a kritikus pontokon. Elég, ha megtalálják a függvény értékei minden kritikus pontot, és hasonlítsa össze őket az értékeket. A legalacsonyabb (a legtöbb) ezek közül a legkisebb (legnagyobb) függvény értéke az [a, b].
Példa 4. pont, ami fekszik az egyenes vonalon a vasúti, a B pont, ami a sorban a távolban, meg kell fuvaroznak. Az ára rakományok szállítása egység egységenként távolsági vasúti és közúti rendre m és n. Annak mi értelme M vasútvonalat kell nyitnia az utat az áruszállítást A-ból B volt a leggazdaságosabb?
majd (ábra. 54a). K Az ára rakományok szállítása egységek az úton teszi a VM, a vasúti MA - ill. A teljes költség az átültetési rakomány
Keresse meg a legkisebb érték ezt a funkciót.
és egyenlővé nullára, megkapjuk az egyenlet, amelynek megoldása határozza meg a sajátos kritikus pont. Ez könnyen ellenőrizhető, hogy a származék ezen a ponton megváltoztatja jel mínusz plusz. Következésképpen, ha, azaz CM
Egyenlővé nullára, és talál egy fix pont:
Alkalmazása a második szabály, azt látjuk, a második derivált és szerezzen
Kiszámítjuk egy második derivált érték az álló ponton. ha van
így, szerint elégséges feltétele a második típus egy minimális pontját a függvény
11. példa megkeressük a legnagyobb és a legkisebb érték a funkciót, az [-2,3].
azaz stacionárius pont.
Mi határozza meg az értékét a függvény ezeken a pontokon.
Mi az A értékét ennek a funkciónak a határokat az intervallum :.
Ezekből négy érték kiválasztásához legmagasabb és a legalacsonyabb. Következésképpen, a legnagyobb értéket a függvény egy előre meghatározott időköz 2, és a legalacsonyabb egyenlő -18.
12. példa Keresse meg a inflexiós pontja és intervallumok konvexitási
Δ találjuk a derivatív és a második derivált, és létrejönne egy táblázatot, tekintettel arra, hogy az.
Következésképpen, az intervallum ütemezéséhez konkáv függvénye, és a rés a konvex. Az a pont, ahol a második deriváltja elõjelet a „+” a „-” az inflexiós pont a grafikon.
13. példa Find aszimptotájának görbék a); b).
a) a függvénynek függőleges asymptote. nyilván,
függvénynek folytonossági a második fajta.
Találunk a lejtőn a asymptote:
Ezért ferde aszimptotája a görbe
b) Nyilvánvaló, hogy a függőleges aszimptotájának a görbe nem. Ha. Következésképpen x-tengely a vízszintes aszimptotájának a görbe. Megvizsgáljuk jelenlétében egy ferde asymptote:
Következésképpen, csak egy vízszintes asymptote.
14. példa Annak vizsgálatára, a funkció
És épít rá ütemtervet.
ÿ 1. Mező definíciókat. Gőz funkció, hiszen a grafikon szimmetrikus az y tengelyen.
2. A függőleges asymptote ott, mert a funkció határozza meg az összes valós értéke x.
A viselkedés a funkció a végtelenben:
Azáltal párosítás funkció, azaz, a vonal (x-tengely) - vízszintes asymptote.
3. A szélsőértékek és monotonitás időközönként:
ez a kritikus pont.
Tehát van egy maximális pont, minimum pont a maximális pontot.
A funkció, és növekedett az intervallumok és csökken (1; 0) és.
4. periódusai konvexitás és konkáv és inflexiós pontot:
Így a konvex időközönként
konkáv az intervallum
és a metszéspont.
5 .. Az egyenlet van egy egyedi megoldás x = 0, azaz, a grafikon való áthaladások eredetű.
15. példa Annak vizsgálatára, a funkció
és konstrukció a grafikon.
ÿ 1. Mező definíciókat. Ez a funkció nem gőz, sem páratlan.
2. vizsgált függvénynek függőleges asymptote X = 3. nyilván,
Ezért, az x = 3, a függvény egy másodrendű folytonossági hiány. további
Találunk a lejtőn a asymptote.
Ezért, y = x + 3 meredeksége aszimptotájának a görbe.
3. Kiszámítjuk a függvény deriváltját, és megoldani az egyenletet
Feltárása jele a származék, egy asztal