Sajátvektorait lineáris operátor
Nem nulla vektor egy lineáris tér át a mezőt nevezzük sajátvektorának lineáris operátor. ha van egy szám. hogy
A számú egyenlet (15.10) nevezzük sajátérték. a megfelelő sajátvektor.
Más szóval, egy sajátvektor egy lineáris operátor egy nulla vektor egy lineáris tér. amely kollineáris a kép, ha az üzemeltető.
Tulajdonságok vektorok. 1. Minden sajátvektor megfelel egy sajátérték.
2. A sajátvektorok, eltérő sajátértékek lineárisan függetlenek.
3. Minden nem nulla vektor kollineáris sajátvektor. mint sajátérték, és ugyanazzal a sajátérték.
4. Ez nem egyenlő a nulla vektor lineáris kombinációja a sajátvektorok azonos sajátérték és sajátvektor, és ugyanazzal a sajátérték.
5. A mind sajátvektorait lineáris operátor azonos sajátérték nulla vektor altér lineáris tér. Ez altér fognak nevezni eigenspace az üzemeltető és a címkézés.
Példa. 15.27. Let - sajátvektorok lineáris operátor különböző sajátérték, és - nem nulla szám. Bizonyítsuk be, hogy a vektor nem a saját (hasonlítsuk össze az ingatlan 4).
# 8710; És egy - sajátértékei lineáris operátor. a megfelelő sajátvektor és volt. Tegyük fel, hogy a vektor is sajátvektor az üzemeltető. és hagyd, hogy - a saját fontosságát. majd
[Vektor - saját]
Azáltal lineáris függetlenség sajátvektorok a különböző sajátértékei, az utolsó egyenlőség azt jelenti, hogy. . Mivel a számot, és nullától eltérő, akkor. . ezért. és van egy ellentmondás. ▲
Példa. 15.28. Jelöljük - lineáris teret funkciók, és végtelen számú alkalommal folyamatosan differenciálható a számegyenesen, - eltérés üzemeltető, hogy minden egyes egymást annak származéka a funkció (azaz), - a személyazonosságát üzemeltető. Mutassuk meg, hogy a függvény egy privát függvényt lineáris operátor. és lineáris operátor. mivel sajátfüggvény egy lineáris operátor. de lesz egy magánvállalkozó.
# 8710; Költési közvetlenül a definíció:
Legyen egy véges teret, azaz a . Ha - a mátrix egy lineáris szereplő némi alapja, - koordinálja oszlop sajátvektor ugyanazon az alapon a (1) egyenlet egyenértékű
Példa. 15.29. Egyes alapján lineáris operátor mátrix háromdimenziós térben. Ellenőrizze, hogy melyik vektorok. és sajátvektorait ez a szolgáltató, és adja meg a saját értékeit.
# 8710; Minden egyes előre meghatározott ellenőrzés feltételt vektorok (15.11):
Jelöljük a mátrix egy lineáris szereplő egyes alapján a lineáris tér. - koordinálja oszlop vektorok azonos alapon.
A karakterisztikus polinomja lineáris operátor és mátrix egy polinom. egyenlet
Ez az úgynevezett karakterisztikus egyenletének az operátor és mátrix, és a gyökerek az egyenlet - jellegzetes számokat.
Ha - egy lineáris tér át a területen. - lineáris operátor, akkor a következő állítások igazak:
a) A sajátértékei a lineáris üzemben vannak jellegzetes számok tartozó területen. és egyedül;
b) minden egyes nem-zéró sajátérték-oszlopok megoldások a homogén lineáris egyenletrendszer
koordináta oszlopok sajátvektor. megfelelő sajátérték;
A szabály megtalálásához sajátvektorok egy véges térben. 1. Mi alkotják a karakterisztikus egyenlet (15.12) a mátrix és megtalálja a gyökereit. Azok, akik tartoznak a területen. sajátértékei.
2. Minden egyes talált saját értéke a megfelelő sajátvektor megoldása homogén lineáris egyenletrendszer (15,13), feltéve, hogy.
Notes. 1. azok bármilyen degenerált négyzet homogén lineáris egyenletrendszer (), egy rendezett halmaza, amely a kofaktorok elemeinek egy sorban a mátrix azt a megoldást, hogy ezt a rendszert (lásd a bizonyíték. Például, a []).
2. karakterisztikus egyenletének lineáris operátor a n-dimenziós vektor tér -tuyu mértékben, és általában, nincs általános képletű a döntését. Ezért a karakterisztikus polinomja célszerű tényező még mindig a számítási lépésben. Például, a számítás a meghatározója a harmadik rend kell figyelni, hogy a meghatározott elemek (15,14) ugyanolyan módon:
Alkalmazása elemi transzformációk első fokon, hogy az oszlopok a mátrix, és a második -, hogy a sorban, és annak biztosítására, hogy az egyik a két elem azonos módon jegyezni eltűnik. Ebben az esetben, hat a javasolt változtatások kell kiválasztani, ami után a nem nulla elemek egy átalakított sorban vagy oszlopban van egy közös tényező. Ha ezek egyike sem átalakulások nem adja meg a kívánt eredményt, akkor ki kell számítani a meghatározója semmilyen módon, majd megtalálja a gyökereit bármely ismert módszer az iskola.
Példa. 15.30. Keresse meg a sajátvektorok lineáris operátor. ami némi alapja V3 tényleges lineáris tér egy olyan mátrix
# 8710; Találunk karakterisztikus polinomja. Figyelembe véve a nyilak alkalmazott elemi transzformációk:
Ez a többtagú gyökereit. Mindegyikük érvényesek, így mind a sajátértékek. Az egyes sajátértékek találni sajátvektorok, megoldása a homogén rendszer mátrix:
a). . Mi megoldjuk a rendszer megszüntetése ismeretlenek, ami egyszerűsíti mátrix elemi transzformációk csak a sorok. Ennek eredményeként minden cselekvés megkapjuk a mátrix rendszer, ami az eredeti, tehát a szerszámok között lesz a jele az egyenértékűség:
Alapvető ismeretlenek utóbbi rendszer, akkor válassza ki az első és a harmadik, a második ingyenes lesz. Ezután az általános megoldás formájában :. Ha fel. akkor megkapjuk a készlet minden sajátvektorok a sajátérték. . vagy. hol. .
Az eljárás megszüntetése ismeretlenek, hogy megoldja a rendszer ebben az esetben jó, mert lehetővé teszi, hogy gyorsan megtalálja a hibát abban az esetben tévesen állapította meg saját értékeit, ha találtak rossz, akkor a rendszer csak a triviális megoldás. Ha biztos benne, a helyességét a számítások, abban az esetben egyszerű sajátértékek, hogy megoldja a rendszer, természetesen, sokkal kényelmesebb alapján megjegyzések 1. Ebben az ügyben. a három férfi nem lehet a választás a (determináns nulla), és egy - annak a ténynek köszönhető, hogy nincs arányos vonalak. Ezért. Ez azt jelenti, hogy az összes sajátvektorok ezekkel sajátértékek egyenesen vannak egymással. Ha találunk egy közülük, mert a többiek is szorozza meg minden nem nulla szám.
Elosztjuk az utolsó sor a mátrix (15.14) négy számát csökkenteni, hogy a rendszer nem fogja megváltoztatni a döntést, és megtalálja az egyik megoldás a cofactors az első sorok:
c) Mi jár, mint az előző esetben (cofactors ismét az első sorban):
Példa. 15.31. Keresse meg a sajátvektorok lineáris operátor. ami némi alapja V3 tényleges lineáris tér egy olyan mátrix
# 8710; Találunk karakterisztikus polinomja A mátrix:
Ez a többtagú a következő gyökerei: multiplicitás két és. Mindkettő helyes, így a kettő a sajátértékek. Az egyes sajátértékek találni sajátvektorok, megoldása a homogén rendszer mátrix:
A rangsorban a mátrix két ,. Az egyik jellegzetes vektorok alkalmazásával talált kofaktorok, például az első sorok :. . . .
A rangsorban a mátrix ismét egyenlő két ,. Az egyik jellegzetes vektorok alkalmazásával talált kofaktorok, például az első sorok :. . . . ▲
Példa. 15.32. Keresse meg a sajátvektorok lineáris operátor. ami némi alapja V3 tényleges lineáris tér egy olyan mátrix
# 8710; A karakterisztikus polinom:
Ez a többtagú van gyökere sokfélesége 2. és. amely sajátértékek. Keresse sajátvektorok:
Módszer cofactors ebben az esetben nem ad meg a kívánt eredményt: rendezett halmaza kofaktoroktól elemeinek bármilyen vonal lesz triviális, mert ezek mind arányos. Mi megoldjuk a rendszer a szokásos módon: a talpa független egyenlet ad. Elhelyezés. Kapunk. . hol. .
Példa. 15,33. Keresse meg a sajátvektorok lineáris operátor. amely egy komplex alapján vektortérnek V3 a mátrix
# 8710; Azt, hogy ki a karakterisztikus polinom:
A karakterisztikus egyenlete az üzemeltető az űrlap
lesz jellemző számok. Mivel a lineáris üzemben működik, egy komplex térben, akkor annak minden jellemző gyökerei és sajátértékek. Találunk sajátvektorok.
Homogén mátrix rendszer megoldott az ilyen orális :. Sajátvektorok ezekkel sajátértékei a következők :. . .
Mivel minden sajátértékei sokaságának egy, akkor minden saját altér egydimenziós, így mindegyik elég megtalálni egy sajátvektor, hogy lehet tenni a cofactors. Válasszunk például cofactors részeire az első sorban a mátrix :. . .
Kaptunk egy mátrixban, a komplex konjugált az előzőt. Ennélfogva, az oldatokat a rendszereket e mátrixok - túl komplex konjugált, így ▲
Példa. 15.34. A térben polinomokként adott két lineáris operátor. Keresse meg a eigenfunctions (sajátvektorok) az üzemeltető és a megfelelő sajátértékek.
(Számítása során integrálok, a következő tulajdonságokkal rendelkezik: a beépített páratlan függvény szimmetrikus különbség nulla integrál egy még funkciót a szimmetrikus intervallum kétszeresével egyenlő szerves azonos a jobb fele az intervallum funkció). Ha - a saját funkciója, néhány. azaz
Egyenlet (15.16) kell tekinteni egyenlő funkciókat, akkor érvényes minden. Ez azért lehetséges, akkor és csak akkor az együtthatók az egyes fokozatok ugyanazt a változót. Kapunk egy egyenletrendszert
Vannak két esetben:
a). Aztán. . Ez azt jelenti. Az egyik ilyen funkció. és az összes többi lány arányosak.
b). Ha majd. akkor. és fordítva. Ebben az esetben. fogalmával ellentétben saját vektor. Ha. majd elosztjuk az első egyenletben a második találunk. azaz . Amikor megkapjuk. ; amikor már. (Arányos a többit).
2. utat. Írunk a mátrix egy lineáris szereplő alapján (lásd példa 15.11.):
(Az összes többi funkcióját saját arányos);
(Arányos a többi is);
(Arányos a többit). ▲