Polinom függvény wikipedia
f (x) = a n x n + n # X2212; 1 x N # X2212; 1 + # X22EF; + A 2 x 2 + 1 x + 0 = # X2211; i = 0 n a i x i x ^ + a_x ^ + \ dotsb + a_x ^ + a_x + egy _ = \ sum _ ^ a_x ^>.
ahol n # X2208; N>. a n. a n # X2212; 1. # X2026;. a 2. a 1. 0 # X2208; R, a _, \ ldots, a_, a_, a_ \ in \ mathbb> és a n # X2260; 0 \ neq 0> gombot. Egy különleges eset az integrál racionális függvény olyan függvény f (x) = 0. minden együttható nulla. Minden racionális függvény lineáris kombinációja több exponenciális függvények, és (együtt a racionális függvény) egy speciális esete a racionális függvények. A legegyszerűbb képviselői egy egész racionális függvény konstans. lineáris és másodfokú függvények.
Alapfogalmak [| ]
Terminológia [| ]
Therm felvétel polinom függvény polinom egy változót. A természetes szám n (a legnagyobb exponens x változó) határozza meg a mértékét a polinom függvény. Tényleges száma a n. # X2026;. a 2. a 1. 0, \ ldots, a_, a_, a_> úgynevezett polinom együtthatóit funkciót. A száma n> gyakran nevezik a vezető együtthatót, és számos 0> - szabad arányban.
Különleges esetekben [| ]
Példák [| ]
Alapvető tulajdonságok [| ]
A domain egy értékrend, túl [| ]
Polinom függvény a területén a valós számok meghatározása és mindenütt folyamatos egész tartományban. Azt is meg értékeket egy részhalmaza a valós számok halmaza. Még n érték van beállítva, attól függően, hogy a jel a vezető tényező a n>. korlátozódik a felső vagy alsó (lásd. még a táblázatot).
A határérték polinom függvény x végtelenben # X2192; # X00B1; # X221E; mindig létezik, és annak egyedi értéke függ a egyenletesség és mértéke n jele a vezető tényező a n>. Ebben a grafikonon polinom függvény pontosan úgy viselkedik, mint a menetrend és a teljesítmény függvényt g (x) = egy n x n x ^>:
Polinom függvény differenciálható egész tartományban. A származékot könnyen talált elemi levezetési szabályok. Így a függvény deriváltját f (x) = 2 x 3 # X2212; 4 x 2 x 5 + # X2212; 1 -4x ^ + 5x-1> a következőképpen számítjuk ki:
f # X2032; (X) = (2 x 3 # X2212; 4 x 2 x 5 + # X2212; 1) # X2032; = (2 x 3) # X2032; + ( # X2212; 4 x 2) # X2032; + (5 x) # X2032; + ( # X2212; 1) # X2032; = 2 # X22C5; 3 x 2 # X2212; 4 # X22C5; 2 x + 5 # X22C5; 1 x 0 # X2212; 1 # X22C5; 0 = 6 x 2 # X2212; 8 5 x + f '(x) = (2x ^ -4x ^ + 5x-1)' \\ = (2x ^) '+ (- 4x ^)' + (5x) '+ (- 1)' \\ = 2 \ cdot 3x ^ -4 \ cdot 2x + 5 \ cdot 1x ^ -1 \ cdot 0 \\ = 6x ^ -8x + 5 \ end >>
Polinom függvény is integrálható minden annak hatálya alá. Az ő primitív is könnyen segítségével az elemi szabályokat az integráció. Például, a primitív ugyanazon f (x). mint a fenti példában, a következőképpen számítjuk ki:
Könnyen látható, hogy a származék és pervobraznaya polinom függvény f (x) a foka n és maguk polinom. Ebben az esetben az f függvény # X2032; (X) a fokszáma n # X2212; 1, és a F (x) - mértéke n + 1 (kivéve a triviális esetben, ha f (x) = 0).
Konkrétan az a polinom függvény [| ]
Számítása nullák [| ]
A nullák egy polinom függvény egybeesnek a gyökerei a polinom. jelen az egyenlete. Így, hogy megtalálják a nullákat kell megoldani az egyenletet f (x) = 0. A módszer a megoldás függ a speciális funkciója az egyenlet.
Ha az f (x) = egy n x n + # X22EF; + A 2 x 2 + 1 x + 0 x ^ + \ dotsb + a_x ^ + a_x + A_> faktorhoz írott formában f (x) = n # X22C5; (x # X2212; x 1) k 1 # X22C5; (x # X2212; x 2) k 2 # X22EF; (x # X2212; X m) k m \ cdot (X-X _) ^> \ cdot (X-X _) ^> \ dotsb (X-X _) ^ >>. ahol minden egyes faktor jelentése lineáris binomiális. A valós számok x 1>. x 2>. ..., x m> vannak nullákat a f (x). és ez a szám k 1>. k 2>. ..., k m> mutatják multiplicitása a megfelelő nullák ezt a funkciót. Ebben az esetben, a feltétel: k 1 + k 2 + # X22EF; + K m # X2264; n + k _ + \ dotsb + k_ \ leq n>. Így a mértéke n f (x) határozza meg a lehetséges legnagyobb számú nullák át a területén a valós számok. Abban az esetben, általánosítása polinom függvény az a komplex számok. összhangban az algebra alaptétele. egyenlőség: k 1 + k 2 + # X22EF; + K m = n + k _ + \ dotsb + k_ = n>.
Például, egy polinom függvény f (x) = # X2212; 0. 01 # X22C5; x 3 # X22C5; (x # X2212; 2) # X22C5; (X + 3) 2 # X22C5; (X 2 + 1) 01 \ cdot x ^ \ cdot (X-2) \ cdot (x + 3) ^ \ cdot (x ^ + 1)> három nullát, nevezetesen: X 1 = 0 = 0> ( multiplicitás 3), x 2 = 2 2 => (multiplicitás 1) és X = 3 # X2212; 3 = -3> (2-szeres). Binomiális négyzet x 2 + 1 + 1> nincsenek valós gyökei, így nem lehet tovább beilleszteni a lineáris faktorok.
Általában, hogy megtalálják a nullákat polinom függvény fokú n = 1 és n = 2 technikák alkalmazásával, hogy a használt megoldások rendre lineáris és másodfokú egyenletek. Ahhoz, hogy megtalálja a nullákat a polinom foka n # X2265; 3, ahol azt fel lehet használni különböző módszerek speciális megoldások algebrai egyenletek magasabb fokú (különös tekintettel a teljesítmény és a negyedfokú egyenlet). Általánosabb esetben alkalmazni minden ilyen univerzális technikák, mint a polinom hosszú szétválás vagy Horner rendszer. lehetővé téve, azonban már csak egész szám (pontos) oldatok vagy numerikus módszereket alkalmaznak (pl, Newton-módszerrel) az a megállapítás minden (de csak hozzávetőleges) megoldásokat.
Módszerek a megállapítás a egész gyökerei a polinom alapján a vizsgálat az Bezout tétel. Különösen, a hányados polinom függvény f (x) = a n x n + # X22EF; + A 2 x 2 + 1 x + 0 x ^ + \ dotsb + a_x ^ + a_x + A_> egész együtthatós kezdetben az összes osztója szabadon együttható egy 0> van kiválasztva bármelyike gyökér x 0>. hogy egy egész szám, amelyre érvényes: f (x 0) = 0) = 0>. Ezután, elosztjuk az oszlop keresztül vagy Horner program f polinom (x) az x binomiális # X2212; X 0> tett formájában az eredeti polinom f (x) faktorizációs = (x # X2212; x 0) # X22C5; g (x)) \ cdot g (x)>. ahol g (x) - a polinom foka n # X2212; 1. Így a mértéke az eredeti funkciója, ezért annak bonyolultsága csökken. Megtalálása nullák az f (x) csökkenti, hogy megtalálják a nullákat a függvény g (x).
Például, hogy megtalálják a nullákat a f (x) = x 3 # X2212; 12 x 2 + x 5 + 150 -12x ^ + 5x + 150> (lásd. Példa) egész együtthatós első "kitalálni" egy gyökere (5-ös szám között van osztói 150), akkor az eredeti polinom f (x) van osztva binomiális x # X2212; 5. Egy további megállapítása a többi kinullázza f (x) csökkenti, hogy megtalálják a nullákat a kapott függvény g (x) = x 2 # X2212; 7 x # X2212; 30 -7x-30>. amely könnyen megtalálható megoldásával a megfelelő másodfokú egyenlet.
Monotónia és a szélsőérték pont [| ]
