Ortogonális bázisa - studopediya
Itt - a Kronecker szimbólum.
Lássuk be az alábbi nyilatkozatot.
Teorema 9.1. Mindenesetre n-dimenziós euklideszi tér egy ortonormált bázis.
Bizonyítás. Legyen x 1 x 2, ..., xn - önkényes alapján V. Let. Let tovább. ahol ez a szám olyan, hogy a vektorok V 2 és u 1 ortogonális, azaz a. e.
Ettől. akkor meg, hogy
Ezen az értéken ortogonális vektor u v 2. normalizáló 1. látjuk, hogy a vektorok u 1 forma ortonormált pár. Továbbá, üzembe, és felvette, és így, hogy a feltételek és. tekintve orthonormality vektorok u 1. és 2. u szerezni
Normalizáló v 3. kapjuk a vektor. amely együtt u 1 és u 2 egy olyan rendszert képez három ortonormált vektorok. Folytatva ezt a folyamatot, miután n lépésben megkapjuk n ortonormált vektorok u 1. u 2, ..., un. hogy sajátvektorok ortonormált bázist alkotnak.¨
Meghatározott tételben 9.1 algoritmus építésére ortonormált bázis úgynevezett folyamat ortogonalizáló Gram - Schmidt *, mely adott komplexitása, úgy véljük részletesebben.
3. példa ortonormális vektorok x 1 = (1, 0, 0), x 2 = (- 2, 1, 2), és x 3 = (1, - 1, 0), és R 3 a belső terméket képlet adja meg ( 9.1).
Találunk egy kifejezése a belső termék a koordinátáit a vektorok x és y. meghatározott önkényes ortonormáiis bázis a tér V euklideszi.
vektorok V. Ezután a axiómák 2 ° és 3 ° §9.1 megkapjuk
Tehát, ortonormált bázis skalár szorzata két vektor egyenlő a szorzatösszegében az azonos nevű koordinátáit ezen vektorok.
Tisztázása a jelentését a koordinátáit egy tetszőleges x vektor egy ortonormáiis bázis.
Teorema 9.2. Koordinátái a vektor egy ortonormáiis bázis a ska belső termék a vektor megfelelő alap vektorok.
Ezek a koordináták vektoraxv ortonormáiis bázis vannak annak nyúlványok a megfelelő bázis-vektorok.
Ez jelenti a bomlása egy tetszőleges x vektor egy ortonormáiis bázis u 1. u 2, ..., un euklideszi tér.