Ökonometria - 3. fejezet
3.2. A probléma a becslésére a modell paraméterei. Többváltozós legkisebb négyzetek módszere
Értékelése során a modell paraméterei a legkisebb négyzetek módszerével intézkedés A minőség (feltétel) illeszkedik a tapasztalati regressziós függvény a megfigyelt minta négyzetösszegét hibák (maradékok). Ahogy alkalmazott klasszikus többváltozós lineáris regressziós módszer az úgynevezett a rendes (klasszikus) egylépéses vagy többdimenziós a legkisebb négyzetek módszerével. A jelentését a legkisebb négyzetek kritériuma az esetben, a pár lineáris regresszió részletesen tárgyalja a 2. fejezetben, ahol kapott egy grafikus értelmezést. Sajnos, a többdimenziós esetben (k> 3) is egyértelműen grafikusan kijelezze a regressziós függvény, és lehetetlen, hogy egy kritérium értelmezése.
A kritérium a legkisebb négyzetek
Szerint (3.7) a hiba a lineáris regressziós egyenlet az i - edik megfigyelés lehet az alábbi képlettel ábrázolható:
és ennek megfelelően, a négyzetes hiba
Kifejezés alkalmazásával (3.9), írunk a kritériumot (célfüggvény) a legkisebb négyzetek a többdimenziós esetben
vagy egy vektor-mátrix jelöléssel írhatunk
ahol a vektor, vektor.
Következtetés normális egyenletek
Jelenítse meg a rendszer normális egyenletek átalakítani a kifejezést (3.10) tesztet szabályai műveletek a vektorok és mátrixok (lásd. Függelék). megkapjuk
A levezetése (3.11) általunk használt egyenlőségét, hogy ez a helyzet, hiszen az értékek a jobb és bal oldalon az ő - skalár (S (b) - skalár függvény).
A funkció S (b) (3.11) egy kvadratikus formában a b vektor értékelés. Ennek minimális paraméterek b létezik, és egyértelműen meghatározzák egyenlővé nullára részleges származékok S (b) a változó bi. i = 1,2, ..., k.
Az az állítás, hogy a függvény minimuma S (b) létezik, és egyedülállóan igaz, ha a feltételek a azonosíthatósága lineáris regressziós modellek, azaz, a hipotézisek 7-9.
A szabályok differenciálódása skalár függvény egy vektor érv, megkapjuk kifejezés egy származéka a kritériumot a legkisebb négyzetek
Itt - a vektor - oszlop ak méreten részleges származékok a célfüggvény.
A legkisebb a célfüggvény helyén elért b. kielégíti az alábbi lineáris egyenletrendszer írt vektor-mátrix formában
amelyek az egyszerűség kedvéért elhagytuk határait összegzése az i index = 1,2, ..., n.
Megoldás A szokásos egyenletek vektor-mátrix formában
Az oldatot a szokásos egyenletek explicit formában (azaz mint számítási képlet) csak vektor-mátrix formában. Tekintsük a vektor-mátrix jelöléssel a normál egyenletek (3.13). Amikor az előfeltételek 7-9 megfigyelések regresszor X mátrix van teljes rangú négyzetes mátrix és (X T X) dimenziója (k x k), és teljes rangú. Következésképpen, van egy inverz mátrixot (X T X) -1. Megszorozzuk a bal mindkét oldalán (3,13) ebben a mátrixban. megkapjuk
Továbbá, tekintettel arra, hogy a (X T X) -1 (X T X) = Ik. ahol Ik - az identitás mátrix ak méreten. megkapjuk a kifejezést az együttható becslése formájában
Képlet (3,15) határozza meg egy becslést a legkisebb négyzetek együtthatóit többváltozós lineáris regresszió.
B vektor. által meghatározott (3.15) rendelkezik, a függvény minimuma S (b) a forma (3.10). Valóban, kiszámításával a második származékok a vektor funkció b S (b). Kapjuk. A mátrix X T X jelentése nonsingular szimmetrikus (ha a háttér 8), és ezért, a pozitív határozott, hogy elegendő a függvény minimuma S (b).
Becsült a legkisebb négyzetek módszerével lineáris regressziós empirikus függvénye felírható
ahol b vektor - optimális legkisebb négyzetek becsült regressziós együtthatók vektora határozzuk meg expressziót (3,15), xi = (xi1 xi2 xik ..) T - vektor - oszlop-dimenzió k.
A kapott regressziós együtthatók adható az alábbi értelmezést. Becsült (empirikus) regressziós együttható bj (j = 1,2, ..., k) a parciális derivált empirikus regressziós függvény j - edik regresszor (független változó). Ez azt mutatja, hogy mennyi változik a becsült változás j - edik regresszor egység rögzített értékeket a másik kovariánsok.
Tulajdonságok hibák (reziduális) a modell
Expression (3.16) a tapasztalati regressziós függvény felírható
Az együtthatók E regresszió is értelmezhető a következőképpen: a) ha az állomány visszatér cégek B és C jelentése nulla, egy hozam a részvények lesz átlagosan 3,3310% évente, azaz egyenlő a koefficiens B1; b) ceteris paribus változása a hozam a részvények B 1% egy év (átlagosan) több mint az A részvények a társaság hozam 1,088% évente; c) ceteris paribus változása a nyereségesség a gazdálkodó C részvények 1% egy év (átlagosan), hogy a változás a C Company részvények hozam 0,2146% évente. Értelmezése során szem előtt kell tartani, hogy a becsült paraméterek - közelítő értékek és támaszkodva csak hozzávetőleges megállapítások tehetők őket.
A kereskedelmi vállalat több részre. A vállalat vezetése azt fontolgatja megnyitása egy másik ága. Ahhoz, hogy megalapozott döntést meg kell tudni, mint egy külön ága az éves forgalom (yi millió. Dörzsöljük.) Függ az értékesítési terület (xi2 ezer. Sq. M) és az átlagos napi mértéke a vásárlók (xi3 ezer. Naponta). 3.2 táblázat. ábra számszerű e változók értékeit tizenkét ágak (az adatok a 2.2 példa.).
Megjegyzendő, hogy ellentétben az előző példában, ezek az adatok térbeli. Ezek megfelelnek a forgalom, az értékesítés területén és az átlagos napi áramlási sebessége a vásárlók tizenkét ágak egy adott évben. Ábra. 3.2a. 3.2b ábra két szórás diagramok leírja a függőség a forgalom üzlethelyiség (ábra. 3.2a) és az ügyfél áramlási sebesség (ábra. 3.2b). Mindkét grafikon azt jelzik, a közelítő (bár nem olyan tiszta, mint az előző példában) közötti lineáris összefüggés a változók. Korábban (lásd 2.2 példa 2. fejezete ...), építettünk két modell a tanulmány a forgalom függvényében: a) a piactérre b) az ügyfél forgalom intenzitása.
Ábra. 3.2a. Diagram „kereskedelmi - övezet”
Ábra. 3.2b. Diagram „kereskedelmi - intenzitású”
Ebben a példában azt vizsgáljuk a függőség forgalom egyszerre két tényező - a magyarázó változók: értékesítési területen, és ügyfél forgalom intenzitása. Matematikailag ez a függés az egyes megfigyelési fejezhető ki többszörös lineáris regressziós két magyarázó változó (regresszorok)