Nulláról hős
Már foglalkozott az exponenciális függvény a cikkben szentelt neki. és a következő cél válik a természetes logaritmus.
A matematika tankönyv meghatározását a természetes logaritmus, hogy semmi sem „természetes”, hogy nem természetes: ez határozza meg, mint az inverz függvényt e x. Az ország már önmagában.
Tehát itt egy új, egyszerűsített magyarázat: természetes logaritmus - a szükséges időt, hogy nőnek fel, hogy egy bizonyos szintet.
Képzeld el, hogy tettek egy befektetési gumimaci (és ki csinál ilyet?) 100% -os évi folyamatos jövedelmezőségét. Ha folytatja a cél elérése érdekében több mint tízszeresére nőtt a hozzájárulás „kamatos”. akkor meg kell várni, csak ln (10) = 2,3 év. Akkor nem értem, miért kell csak egy pár év, hogy elérjék a 10-szeres növekedés? Nem értem, miért a sorrend 1, 2, 4, 8? Olvassa el az e szám.
Az e szám és a természetes logaritmus - ikrek:
- e x - elért szint folyamatos növekedés egy bizonyos ideig.
- természetes logaritmusa (ln) - ideig. növekedéshez szükséges egy bizonyos szintet.
Nem rossz, ugye? Míg a matematika vegye fel a szavakat, hogy kapsz egy hosszú gubanc egyértelműen, vessünk egy közelebbi pillantást az egyszerű és világos.
Az e szám a növekedés
Az e szám folyamatos növekedését. Mint láttuk az elmúlt Például az e x lehetővé teszi számunkra, hogy kapcsolja százalékos és idő: 3 év a növekedés 100% ugyanaz, mint 1 év 300%, amennyiben „kamatos”.
Ön helyettesítheti bármilyen érték százalékában és az idő (50% 4 év alatt), de jobb, hogy állítsa be a százalékarány 100% a kényelem (ez 100% 2 év). Történő átállás miatt 100% tudjuk pusztán az idő összetevő:
e x = E * idő százalékban = e 1,0 * idő = E Idő
Nyilvánvaló, hogy ez azt jelenti, e x:
- hogyan nőnek az én hozzájárulásom keresztül x időegységek (feltételezve 100% -os folyamatos növekedés).
- például 3 ideig kapok e 3 = 20,08-szor több „Gadgets”.
e x - egy korrigáló tényezőt, amely jelzi azt a szintet, amit növekedni x időrésben.
A természetes alapú logaritmus az idő
Természetes alapú logaritmus - a fenti inverzió e szám, egy díszes értelmű megnevezés, az ellenkező. Apropó furcsaságok; Latin hívják logarithmus naturali. Így jött a rövidítés ln.
És ez inverzió vagy a kontraszt jelent?
- e x lehetővé teszi számunkra, hogy helyettesítse időben és a növekedést.
- ln (x) lehetővé teszi számunkra, hogy a növekedés vagy a jövedelem és tudja, az idő megszerzéséhez szükséges.
- e 3értéke 20.08. Három hosszú ideig fogunk 20,08-szer nagyobb, mint ahonnan indultunk.
- ln (20,08) kb 3. Ha érdekli a növekedés 20,08-szor, akkor szüksége lesz 3 alkalommal (ismét feltéve száz százalékos folyamatos növekedés).
Még olvas? Ez jelzi a természetes logaritmusa eléréséhez szükséges idő a kívánt szintet.
Ez az egyéni napló költségén
Te voltál a logaritmus - egy furcsa lény. Hogyan tudták kapcsolni szorzás mellett? A szétválást a kivonás? Lássuk.
Mi egyenlő ln (1)? Ösztönösen, a kérdés: mennyit kell várni, hogy 1-szer több, mint amit én?
Zero. Zero. Egyáltalán nem. Már van egyszer. Ez nem igényel időt arra a szintre, 1 szint 1 dorosti.
Nos, mi a helyzet a frakcionált érték? Hány mi lesz 1/2 a rendelkezésre álló mennyiség? Tudjuk, hogy egy teljesen folyamatos növekedése ln (2): a szükséges időt megduplázódott. Ha viszont vissza az órát (vagyis várni negatív időt), akkor a fele kap, amit mi.
Logikus, nem? Ha visszatérünk (nappal) a 0,693 másodperc, azt látjuk, fele a rendelkezésre álló mennyiséget. Általában ez viszont tekercs, és hogy egy negatív érték: ln (1/3) = -ln (3) = -1,09. Ez azt jelenti, hogy ha megyünk vissza a múltba 1,09 hosszúságú ideig, azt látjuk, csak a harmada az aktuális számot.
Oké, hogy a logaritmusa negatív szám? Mennyi időre van szükség, hogy „nő” a kolónia a baktériumok 1-től -3?
Ez lehetetlen! Nem lehet, hogy egy negatív baktériumok számát, nem? Akkor a legtöbbet (uh. Minimum) nulla, de nem tudja, hogy egy negatív szám ezeknek a kis lények. A negatív baktériumokkal, így egyszerűen nincs értelme.
- ln (negatív) = ismeretlen
„Meghatározatlan” azt jelenti, hogy nincs ilyen időszak, hogy mi volna várni, hogy egy negatív értéket.
Logaritmikus szorzás - csak üvölteni
Milyen hosszú a négyszeres növekedés? Természetesen, ha csak vegye ln (4). De ez túl könnyű, akkor menj a másik irányba.
Meg lehet képviseli, mint egy négy-idő növekedése a megkétszerezése (igénylő ln (2) egység idő), majd újra megduplázva (igénylő több ln (2) egység idő):
- Ideje 4 növekedés = ln (4) = Idő a kettős, majd ismét megduplázódott = ln (2) + ln (2)
Ez érdekes. Bármilyen növekedési ráta, mondjuk 20, lehet tekinteni, mint duplájára után azonnal 10-szeres növekedést jelent. Vagy növekedés 4-szer, majd 5-ször. Vagy megháromszorozásáról, majd növelje a 6666-szor. Lát egy mintát?
A logaritmusa A, szorozva a B, van egy log (A) + log (B). Ez a hozzáállás egyszerre van értelme, ha az adatok a növekedés szempontjából.
Ha érdekel egy 30-szeres növekedést, akkor még várhat ln (30) egy csapásra, vagy pedig várni ln (3) megháromszorozza, és még akkor ln (10) udesyatireniya. A végeredmény ugyanaz, úgyhogy az idő folyamán állandónak kell maradnia (és még mindig).
Mi a helyzet az osztály? Különösen ln (5/3) azt jelenti, hogy mennyi ideig tart, hogy nő 5-ször, és akkor kap a 1/3 részt?
Kitűnő, egyre 5-ször van ln (5). Növekedési faktor 1/3 veszi -ln (3) időegységek. Így
Ezek a dolgok azt jelenti: hagyjuk nőni 5-ször, majd a „menjen vissza az időben”, hogy az a pont, ahol nem lesz csak egyharmada ezt az összeget úgy, hogy lesz egy 5/3 magasságú. Általában kiderül
Remélem, hogy a furcsa számtani logaritmusok kezdődő, hogy az Ön számára, hogy érzékelje: szorzás növekedési ütemek válik hozzáadásával egységek ideje növekedését és osztódását a kivonás alakítjuk időegységek. Nem kell megjegyeznie a szabályokat, próbálja megérteni őket.
Használata egy tetszőleges természetes logaritmus növekedési
- Természetesen - mondod - ez mind jó, ha 100% -os növekedését, és abban az esetben 5% -os, hogy kapok? "
Nem probléma. „Time”, amely azt várom, hogy a ln (), valójában egy kombinációja kamatláb és az idő, az egy X az egyenletből e x. Csak úgy határozott, hogy a 100% -os biztonságot az egyszerűség kedvéért, de a szabadon felhasználható bármilyen számot.
Tegyük fel, hogy szeretnénk elérni a 30-szoros növekedés: hogy ln (30) és így 3,4 Ez azt jelenti:
Nyilvánvaló, hogy ez az egyenlet „100% -os hozam 3,4 év, előidéző 30-szor.” Mi lehet írni ez az egyenlet a következő formában:
- e x = e arány * időt
- E 100% * 3.4 = 30 év
Meg tudjuk változtatni az értéket a „sebesség” és az „idő”, ha csak ráta * idő 3.4. Például ha arra vagyunk kíváncsiak, egy 30-szeres növekedést - mennyit kell várni egy kamatláb 5%?
- ln (30) = 3,4
- * ráta idő = 3,4
- 0,05 * 3.4 = idő
- idő = 3,4 / 0,05 = 68 év
I indokolt így: „ln (30) = 3,4, majd 100% -os növekedés lenne szükség 3,4 év, ha megduplázódik a növekedés üteme, a szükséges időt a felére csökken.”.
- 100% a 3,4 év = 1,0 * 3,4 = 3,4
- 200% a 1,7 év = 2,0 * 1,7 = 3,4 [200% növekedést jelent kevesebb idő a felére]
- 50% 6,8 év = 0,5 * 6,8 = 3,4 [50% -os növekedés azt jelenti, hogy ez lesz 2-szer több időt]
- 5% a 68 év = .05 * 68 = 3,4 [5% növekedés azt jelenti, hogy ez lesz a 20-szor hosszabb].
Ez jó hír, nem? A természetes alapú logaritmus is használható bármilyen értékek kamatláb és az idő, mint a termék állandó marad. Tudod mozgatni a változók értékeit, amit akar.
Otpad példa: Szabály hetvenkét
Szabály hetvenkét - egy matematikai eljárás, amely lehetővé teszi, hogy felmérjük, meddig fog tartani a pénzét megduplázódott. Most levezetjük (igen!), És mi több, megpróbáljuk megérteni a lényegét.
Mennyi időbe telik, hogy dupla pénzt egy 100% -os, évről évre növekszik?
Op-pa. Régen természetes logaritmusát a helyzet folyamatos növekedés, és most vezet beszédet éves eredményszemléletű? Nem lenne ez a képlet alkalmatlan egy ilyen esetben? Igen, lenne, de a reálkamat, mint 5%, 6%, vagy akár 15% -kal, a különbség az éves kamatokat és a folyamatos növekedés kicsi lesz. Tehát egy durva becslés művek mm nagyjából úgy teszünk, mintha, hogy van egy teljesen folyamatos összetételéhez.
Most az a kérdés egyszerű: milyen gyorsan tud duplázni, 100% -os növekedés? ln (2) = 0,693. Meg kell 0,693 egység idő (év - a mi esetünkben) a duplája a mi folyamatos növekedés 100%.
Tehát, mi van, ha a kamatláb - nem 100%, de mondjuk, 5% vagy 10%?
Egyszerű! Mivel az arány * idő = 0,693, akkor a duplája a:
- * ráta idő = 0,693
- idő = 0,693 / sebesség
Tehát, ha a növekedés 10% lenne szükség 0,693 / 0,10 = 6,93 év alatt megkétszereződik.
Egyszerűsítése érdekében a számításokat, nézzük szorozzuk mindkét oldalán 100, akkor lehet mondani, hogy „10” helyett „0,10”:
- A megkettőződési idő = 69,3 / sebességgel, ahol az arány százalékban kifejezve.
Most viszont a kettős ütemben 5%, 69,3 / 5 = 13,86 év. Ugyanakkor 69,3 - nem a legkényelmesebb osztalékot. Válasszunk a legközelebb a 72, ami kényelmes osztani 2, 3, 4, 6, 8 és egyéb adatok.
- A megkettőződési idő = 72 / sebesség
és ez a szabály hetvenkét. Minden titkos.
Ha meg kell találni az időt megháromszorozódik, akkor ln (3)
109,8 és fogadására
- háromszorosára idő = 110 / sebesség
Amely egy másik hasznos szabály. „72. cikk” kifejezés vonatkozik a növekedés kamatok, a népesség növekedése, baktériumtenyészetek, és minden, ami exponenciálisan növekszik.
Mi a következő lépés?
Remélhetőleg a természetes logaritmus most megszerzett jelenti az Ön számára - azt mutatja, a szükséges idő a növekedés bármely az exponenciális növekedés. Azt hiszem, ez az úgynevezett természetes, mert e - univerzális intézkedés a növekedés, így a ln lehet tekinteni egy univerzális módon, hogy mennyi időre van szükség a növekedés.
Minden alkalommal, amikor megjelenik ln (x), emlékszik „a szükséges időt nőni X-szer”. A soron következő cikkben fogom leírni e és ln tandem, úgyhogy friss illata matematika levegő van.
Kiegészítés: természetes alapú logaritmusa e
Gyors kvíz: Mennyi ln (e)?
- Matematika robot azt mondják, mivel a meghatározás szerint a fordított egymás nyilvánvaló, hogy ln (e) = 1.
- megértés személy: ln (e) azoknak az ideje, hogy nő az „e” időkben (kb 2.718). Azonban, a száma e önmagában olyan intézkedés növekedés 1 alkalommal, úgy, hogy ln (e) = 1.