Módszerek az integráció irracionális funkció (gyökerek)
A legegyszerűbb módszer a integrációja irracionális funkciók (gyökerek). Bilineáris irracionalitás, differenciális binomiális integrálok tartalmazó négyzetgyökét másodfokú polinom. Néhány elliptikus integrálok, kifejezett elemi függvények.
Irracionális funkciót a változó - egy olyan funkció, amely képződik, amely változó és önkényes állandók egy véges számú műveletet összeadás, kivonás, szorzás (emelése, hogy egy egész teljesítmény), elosztjuk és kibontása gyökerek. Irracionális függvény különbözik a racionális, hogy irracionális funkciót tartalmaz vonás működését.
Három fő típusa irracionális funkciók, határozatlan integrálok csökkennek integrálok racionális függvények. Ez integrálok tartalmazó gyökerek hatványok frakcionált lineáris függvény (gyökerei lehetnek a különböző mértékű, de az azonos, a bilineáris függvény); binomiális integráljainak differenciális és integrális négyzetgyöke a másodfokú polinom.
Fontos megjegyzés. A gyökerek a sok jelentésük van!
A számítás a integrálok tartalmazó gyökerek, gyakori kifejezések a formában. ahol - függvényében változó az integráció. Meg kell jegyezni, hogy. Azaz, ha t> 0 | t | = T. A t 0 és t 0 és alsó - arra az esetre, ahol t N. N - egy közös nevező a frakciók m és n.
2) Ha - egy egész. Helyettesítése egy x n + b = t M., ahol M - nevezőjében p szám.
3) Ha - egy egész. Helyettesítése a + b x - n = t M., ahol M - nevezőjében p szám.
Más esetekben ezek integrálok nem lehet kifejezni elemi funkcióit.
Néha ezek integrálok lehet egyszerűsíteni a csökkentési képlet:
;
.
Integrálok tartalmazó négyzetgyöke másodfokú polinom
Az ilyen integrálok formában vannak jelen:
,
ahol R - egy racionális függvény. Minden ilyen szerves, számos megoldási módjait.
1) használata transzformációk vezet egyszerűbb integrálok.
2) alkalmazása trigonometrikus vagy hiperbolikus helyettesítés.
3) Alkalmazás Euler helyettesítés.
Vegyük ezeket a módszereket részletesebben.
1) konvertálása a integrandust
Képletének alkalmazásával. és a teljesítő algebrai átalakításokat, akkor csökkenti az integrandus az űrlapot:
,
ahol φ (x), ω (x) - racionális függvények.
Bővebben >>>
Továbbá, elosztásának egész részét y ω (x), és a bővülő a maradékot részleges frakciók, megkapjuk az integrálok három fajta.
Integrál a következő formában:
,
ahol Pn (x) - a polinom foka n.
Az ilyen integrál meghatározatlan együtthatók segítségével az identitás:
Differenciálás ezt az egyenletet, és egyenlővé a bal és jobb oldalon, találunk együtthatók Ai.
Bővebben >>>
Integrál a következő formában:
,
ahol Pm (x) - a polinom foka m.
Behelyettesítve t = (X - α) -1, ez az integrál csökkenti az előző típusú. Ha m ≥ n. majd a frakciók kell tenni az egész részének.
Bővebben >>>
Itt tesszük az eltéréssel:
.
Ami után a szerves formáját ölti:
.
Továbbá, állandók, p választani úgy, hogy a nevező a együtthatók t eltűnik:
B = 0, B1 = 0.
Ezután a szerves hasad összege integrálok két típusa van:
,
,
integrálható helyettesítések:
u 2 2 = A1 t + C1.
v 2 = A1 + C1 t -2.
Bővebben >>>
2) helyettesítés trigonometrikus és hiperbolikus
Bizonyos esetekben, a használata a trigonometrikus és hiperbolikus helyettesítések vezet rövidebb számításokat. Azok alkalmazását, a helyettesítés lineáris, másodfokú trinomiális alatt integrál jel kell hozni az összege vagy különbsége négyzetek. Akkor kell alkalmazni egy trigonometrikus vagy hiperbolikus helyettesítés. Key helyettesítéseket az alábbiakban felsorolt. Ők tartják részletesebben az oldalon:
Trigonometrikus és hiperbolikus helyettesítések >>>
Integrálok az űrlapot. a> 0.
Van három alapvető helyettesítés:
;
;
;
Integrálok. a> 0.
mi a következő helyettesítéseket:
;
;
;
És végül, az integrálok. a> 0.
helyett az alábbi:
;
;
;
3) szubsztitúciót Euler
Továbbá, a integrálok lehet csökkenteni integrálok racionális függvények egyike a három Euler helyettesítések:
. ha a> 0;
. ha c> 0;
. ahol X1 - root egy x 2 + b x + c = 0. Ha ez az egyenlet van valós gyöke.
elliptikus integrálok
Összefoglalva, úgy véljük, integrálok a következő formában:
,
ahol R - egy racionális függvény. Az ilyen integrálok nevezzük elliptikus. Általánosságban elmondható, hogy nem kifejezett elemi függvények. Vannak azonban olyan esetek, amikor az együtthatók A, B, C, D, E arányok léteznek, amelyekben az ilyen integrálok lehet kifejezni elemi függvények.
A következőkben egy példát kapcsolódó kölcsönös polinom. A számítás Ezen integrálok végezzük segítségével helyettesítések:
.
Ilyenkor, ha x> 0 (u> 0) figyelembe véve a legjobb jel '+'. x <0 ( u <0 ) – нижний ′ – ′.