Megszámlálható halmazok - studopediya
A beállított equipotens készlet minden természetes számot nazyvaetsyaschotnym.
Teljesítmény természetes számok halmaza jelöli # 1488; 0 = | N |.
Nem több, mint egy megszámlálható halmaz - a készlet megszámlálható vagy véges.
Ez a meghatározás, kiszálltunk az ekvivalencia osztály, amely az úgynevezett megszámlálható, egy-egy képviselője - a természetes számok halmaza - és most már valami összehasonlítani más készletek.
bármilyen bijekciót # 957;. N → M nevezzük felsorolásával M. M = i | i = 0, 1,2, ...>.
Így, ha a számozás talált néhány sor, akkor ez azt bizonyítja, hogy megszámlálható. Elemei a megszámlálható halmaz is nevezik a sorozatot.
Adott egy ABC A - meg azokat a szimbólumokat, amelyek szintén nevezett leveleket. Hívjuk szó az ábécé véges sorozat írt levelek egymáshoz. Néha célszerű vizsgálni az üres szót, nem tartalmaz betűket - a kijelölt # 923;.
Bebizonyítjuk, hogy minden nyelvben van egy megszámlálható halmaz szavak
Tétel. Ha az ábécé egy véges, a szavak halmazának az ábécé A * megszámlálható.
Következmény. szóval az ábécé - megszámlálható számát. Ez - hitelesítések - ismét megerősítette a countability a természetes számok halmaza.
Tétel. Bármilyen részhalmaza egy megszámlálható halmaz legfeljebb megszámlálható.
# 9633; Legyen - megszámlálható. Ennélfogva, az elemek sorolhatók: 1. a2. ..., an, ...>. Elemei bármely alosztálya BÍEgy lehet elhelyezni emelkedő sorrendben :. Következésképpen számozást részhalmaza # 957; (n) = # 9632;
Tétel. Bármilyen végtelen halmaz megszámlálható részhalmaza.
# 9633; Let A0 - végtelen sok. Ezért, ez nem üres és $ a1 ÎA0. Hagyja, A1 = A 0 \ 1>. A1 nem üres, hiszen egyébként A0 = 1>, ami ellentmond annak a feltételezésnek a végtelen A0. Folytatjuk az eljárást: A1 létezik a2. hagyja A2 = A1 \ 2> = A0 \ 1. a2> ... stb
Az N-lépésben kapjuk: A n = A 0 \ 1. ..., an> nem üres, hiszen egyébként A0 = 1. ..., an>. Továbbá, az építőipar ai ≠ ak. ha i * k - az elemek különbözőek. Ezután $ AN ÎÉs egy n, az építkezés, A n 1 = A n \ n> üres halmaz.
Így, indukciós, konstruáltunk egy sor álló kölcsönösen különböző elemek 1. a2. ..., an, ...>Î A0 számozási # 957; (n) = a. # 9632;
A bizonyított tételek, amelyeket egy megszámlálható halmaz legkisebb teljesítményt az összes végtelen halmazok -, mert talán ez az úgynevezett Aleph nulla.
Tétel. Mindenesetre végtelen halmaz van két diszjunkt megszámolható. Bizonyítás - bontani chotnuyu és páratlan számok.
Tétel. Bármely kombinációja legfeljebb megszámlálható családnak megszámlálható halmazok.
Index elemeit családok az alábbiak szerint:
a) I. persze; b) I megszámlálható
A szekvencia (A11, A21, A12, A22, A31, ...) - számozás. Az elv az építése, hogy - első rögzített n = 2 és írja aik úgy, hogy i + k = N. Ekkor, N → N + 1, és minden ismétlődik.
Megjegyzés: A családok is ugyanazokat az elemeket
Következmény. * Egy sor minden szót a számolás ábécé A megszámlálható. Tegyük fel, hogy vannak megadva a számozás az A: A = 1. a2. ..., an, ...>
Jelöljük A n véges ábécé: A n = 1. a2. ..., an>. Bármely szó az A * áll véges számú levél (definíció szerint), ezért ez a szó, hogy valamilyen véges ábécé, vagyis Ak. k = max (k1. k2. ..., kn). így a készlet minden szava ábécé A az unió megszámlálható számú készletek A1. A2, ..., A n.
Példa. Algebrai számok. Roots tetszőleges polinom egy x n + ... + a0. ahol ak - egészek, az úgynevezett algebrai számok. A polinom lehet tekinteni, mint egy szót egy véges ábécé: A = - szókészletet megszámlálható és gyökereket véges számú polinom. Ezért a készlet minden algebrai számok megszámlálható.
Tétel. Az értékrendje egy függvény a sor a számláló, nem több, mint megszámlálható. # 957; (n) = f (a) - számozás.
Tétel. Legyen - végtelen számú, és B - ez nem több, mint egy megszámlálható részhalmaza. Ha a beállított A \ B végtelen, akkor megegyezik a beállított A.
Kiválasztjuk A \ B megszámlálható részhalmaza C; az építési B∩C = O. Kombinációk B és C megszámlálható, így van egy bijekciót f. BÇC → C. Meg kell építeni bijekciót A → A \ B épült:
Következmény. ha A végtelen, és a B legfeljebb megszámlálható, akkor az unió AÇB megszámlálható.