Markov-lánc 1
-th tárgyalás történt esemény
, Ez nem függ a korábbi vizsgálatok eredményeiből.
Például, ha a teszt-szekvencia egy Markov-lánc és teljes csoport négy egymást kizáró események
, és köztudott, hogy a hatodik teszt megjelent esemény
, akkor a feltételes valószínűsége, hogy az esemény a hetedik teszt
, Ez nem attól függ, milyen események jelentek meg az első, a második, ..., az ötödik tárgyalást.
Vegye figyelembe, hogy a független tesztek egy speciális esete a Markov-lánc. Valóban, ha a kísérletek függetlenek, a megjelenése egy adott esemény semmilyen teszt nem függ az eredmények a korábbi vizsgálatok elő. Ebből következik, hogy a koncepció egy Markov-lánc egy általánosítása a fogalom független kísérletek.
Gyakran a kiállítás az elmélet Markov-láncok tart különböző terminológiát és beszélni néhány fizikai rendszer
, hogy minden egyes időpontban tárolt egyik kimondja:
, és állapotát kizárólag különböző időpontokban
azaz a rendszer mozog az egyik állapotból a másikba (pl
). Markov-láncok valószínűleg bemegy bármely állam
Ez csak attól függ, az állam a rendszer idején
, és ez nem változott, amit ismertek az állam korábbi pillanata. Továbbá, különösen, miután a vizsgálati rendszer maradhat ugyanaz az állam (a „go” az állam
).
Annak illusztrálására, egy példát.
1. példa Tegyük fel, hogy egy részecske található az egyenes vonalon mozog egyenes hatása alatt a véletlen hatások előforduló pillanatok
. A részecske lehet pontok egész koordinátákkal:
tükrözik fal. Minden tolóerő részecske mozog jobbra valószínűséggel
és a bal valószínűséggel
, ha a részecske nem a falnak. Ha a részecske található a falon, minden lendületet hordozza azt az egység belsejében a rés falai között. Itt azt látjuk, hogy ez a példa a mozgás részecske egy tipikus Markov-lánc.
Így az eseményt nevezzük a rendszer állapotát és teszt - megváltoztatja állapotát.
Most meg egy Markov-lánc segítségével új terminológiát.
Markov-lánc az úgynevezett diszkrét idejű áramkör, a változás, amely bizonyos meghatározott körülmények között meghatározott időpontokban.
Markov-lánc az úgynevezett folytonos idejű áramkör, az állapotváltozás következik be, amely az esetleges véletlenszerű időpontokban.
2. §. A homogén Markov-lánc. Az átmenet valószínűségek. Az átmenet mátrix
Definíció. Úgynevezett homogén Markov-lánc, ha a feltételes valószínűség
(Átmenet az állam
) Nem függ a vizsgálatok számát. Tehát ahelyett,
.
1. példa bolyongás. Tegyük fel, hogy a vonal
egy pont egész koordinátákkal egy anyagi részecske. Bizonyos időpontokban a részecske tapasztal remegést. Az intézkedés alapján tolóerő részecske valószínűséggel
Ez eggyel eltolódnak jobbra és valószínűség
- az egyik a bal oldalon. Nyilvánvaló, hogy a helyzet (koordináta) a részecskék után a push függ, ahol a részecske található, miután a közvetlenül megelőző sokk, és nem függ, hogy hogyan mozdul hatására az előző egyéb remegések.
Így, a véletlen séta - példa homogén Markov-lánc diszkrét időben.
Tovább korlátozzák az elemek az elmélet a véges homogén Markov-láncok.
az úgynevezett feltételes valószínűsége, hogy az állam
(Amelyben a rendszer eredménye volt egy teszt, nem számít, milyen szám) eredményeként a következő vizsgálati rendszert egy olyan állapotba
.
Így a jelöléssel
Az első index számát jelzi az előző, és a második - a szám a későbbi állam. Például,
- a valószínűsége átmenet a második állapot a harmadik.
Hagyja, hogy a több állam véges és az egyenlő
.
Átmenet mátrixa a rendszer egy mátrix, amely tartalmazza az összes átmeneti valószínűségek a rendszer:
Mivel minden egyes sorban a mátrix kerülnek események valószínűségét (átmenet az egyik, és ugyanabban az állapotban
az esetleges állami
), Amely egy teljes csoportot, az összeget a valószínűségek ezen események egyike. Más szóval, az összege az átmeneti valószínűségek minden sorban az átmeneti mátrix egyenlő eggyel:
Itt egy példa az átmenet mátrix rendszer, amely lehet a három állam
; átmenet államonként bekövetkezik rendszert homogén Markov-lánc; A átmeneti valószínűségek adják a mátrix:
Itt azt látjuk, hogy ha a rendszer olyan állapotban van,
, után állapot változás által egy lépésben valószínűséggel 0,5 marad ugyanabban az állapotban egy valószínűsége 0,5 marad ugyanabban az állapotban egy valószínűsége 0,2, hogy egy állam
, az átállás után, akkor lehet, hogy
; menjen ki az állam
nem lehet. Az utolsó sor a mátrix azt mutatja, hogy az állam a
megy minden lehetséges állapotát azonos valószínűséggel 0,1.
akkor egy úgynevezett grafikon államok a rendszer, ez az úgynevezett jelölő állam grafikon alapján a rendszer az átmenet mátrix. Ez akkor hasznos, láthatóvá tételére a lánc. Az eljárás az a grafikon egy példát.
2. példa Egy adott mátrix konstrukciót átmeneti állapot grafikon.
mert negyedrendű mátrix, illetve a rendszer négy lehetséges állapot.
A grafika nem jelöljük meg a valószínűsége átmenet az egyik állapotból a ugyanaz a dolog. Ha figyelembe vesszük egyedi rendszerek kényelmes első konstrukcióval egy állami grafikon, majd meghatározzuk a valószínűsége átmenet az egyik állapotból a ugyanazon (alapul az a követelmény, hogy az összeg a készülék elemeinek a sorok a mátrix), és majd, hogy egy átmeneti mátrix a rendszer.
3. §. Markov egyenlőség
Definíció. Jelöljük
a valószínűsége annak, hogy ennek eredményeként a
lépések (teszt), a rendszer átkerül az állami
A (3) egyenlet, azt találjuk, hogy
egyenletnek felel (12). Ez azt bizonyítja, a tétel.
6.§. Alkalmazások Markov láncok
Markov-láncok egy jó bevezetés a sztochasztikus folyamatok elméletében, azaz elmélet egyszerű szekvenciák családja valószínűségi változók, rendszerint függően egy paramétert, amely a legtöbb alkalmazás szolgál időben. Úgy tervezték, elsősorban a teljes leírását, meddig, és a helyi viselkedése a folyamatot. Íme néhány a leginkább tanulmányozott e tekintetben kérdéseket.
Brown-mozgás és annak általánosítása - diffúziós folyamatok és eljárások független lépésekben. Az elmélet a sztochasztikus folyamatok hozzájárultak a mélyülő kapcsolatát valószínűségszámítás, üzemeltető elmélet és az elmélet a differenciálegyenletek, amelyek többek között, fontos volt, a fizika és más alkalmazásokat. Egyéb alkalmazások közé folyamatok fontos az aktuáriusi (biztosítás) matematika, sorbanálláselméletben, genetika, a forgalom ellenőrzése, elektromos hálózat elmélet és az elmélet a számviteli és a felhalmozási árut.
Stacionárius folyamatok. A legrégebbi ismert ergodikus tétel, mint azt a fentiekben megjegyeztük, lehet úgy értelmezni, mint az eredmény leíró korlátozó viselkedését egy álló véletlenszerű folyamat. Az ilyen eljárás a tulajdonsága, hogy minden valószínűség törvényei, hogy megfelel, változatlan marad a relatív idő műszakban. Ergodikus elmélet, először fogalmazott fizikusok, mint egy hipotézis is képviselteti magát egy nyilatkozatot, hogy bizonyos feltételek mellett, az együttes átlagos egybeesik az átlagos idővel. Ez azt jelenti, hogy ugyanazt az információt lehet beszerezni a hosszú távú monitoring rendszer és az egyidejű (szimultán) megfigyelései sok független példányban ugyanazt a rendszert. A nagy számok törvénye nem az, hogy más, mint egy speciális esete az ergodikus tétel a Birkhoff. Interpoláció és előrejelzése viselkedését stacioner Gauss folyamatok, érteni tág értelemben, fontos általánosítása a klasszikus elmélet a legkisebb négyzetek. Az elmélet a stacionárius folyamatok - szükséges eszköz a kutatás számos területen, például a kommunikáció elmélet, amely foglalkozik a tanulmány és rendszerek kialakítását, amely továbbítja az üzeneteket a zaj jelenléte vagy véletlenszerű zaj.
Szintén Markov-lánc lehet használni szöveg generáció. A bemenet néhány szöveget, majd létrehoz egy Markov-lánc a valószínűségek szavak egyike következő a másik után, és ennek alapján áramkör létrehozott kapott szöveget. Toy fordul nagyon szórakoztató!
Így a mi lejáratú papírok volt rendszer Markov-láncok. Lokalizált területeken, ahol alkalmazzák, és, független vizsgálatokat és azok eredményeit a marginális valószínűségek tétel egy Markov-lánc, feltéve, példák tipikus és homogén Markov-lánc, valamint a megállapítás az átmenet mátrix.
Meggyőződésünk, hogy a Markov-lánc rendszer közvetlen általánosítása a rendszer független kísérletek.
Irodalom
2. Gnedenko BV A kurzus az elmélet a valószínűség.
3. Gmurman VE Valószínűségszámítás és a matematikai statisztika.
4. ES Wentzel Valószínűség és mérnöki alkalmazásai.
6. M. Katz valószínűség és a kapcsolódó kérdések a fizikában.