Lineáris függés és lineáris függetlenségét vektorok egy lineáris tér

4. meghatározása a vektor V tartozik, és más néven egy lineáris kombinációja a vektorok számok nevezzük együtthatók a kombináció.

Definíció 5. A kombináció triviálisnak nevezzük, ha minden; ha van egy nem nulla együtthatók, akkor az úgynevezett nem-triviális.

Meghatározása 6.Sistema vektorok lineárisan függ. ha van egy nem-triviális ezek kombinációja vektorok egyenlő a nulla vektor. Ha csak egy triviális kombináció egyenlő a nulla vektor, a rendszer azt mondják, hogy lineárisan független.

Egy rendszer, amely egy nem-nulla vektor x. t lineárisan független. k. csak akkor lehetséges, ha. Egy rendszer, amely egy nulla vektor. lineárisan függő, azaz a. a. Még ha.

5. példa A lineáris tér bármely két kollineáris vektor lineárisan függ. Legyen a vektorok a vektor x lineárisan függő és kollineáris. Ebből következik, hogy van egy szám. hogy. Ezután - egy nem-triviális kombinációja egyenlő a nulla vektor.

A vektorok egy lineáris tér a következő állítások igazak:

1. Ha a rendszer n lineárisan függő vektorok csatlakoztasson m vektorok, kapunk egy rendszer n + m lineárisan függ vektorok.

2, a maradék vektorok alkotnak lineárisan független rendszer Ha a rendszer tartalmaz n lineárisan független vektor eltávolítására bármely olyan vektor m (m

3. Ha vannak olyanok között vektorok. ahol - számát, majd a vektorok lineárisan függ.

4. Ha van egy nulla vektorok közül, ezek a vektorok lineárisan függ.

Tétel. (Kritérium vektorok lineáris függés). Annak érdekében, hogy a vektorok lineárisan függő, ha, és csak akkor, ha legalább az egyik ilyen vektorok egy lineáris kombinációja a többiek.

36. A dimenzió és az alapján egy lineáris tér. Koordinátáinak lineáris tér.

Meghatározása 7.Pust a lineáris térben V, a következő feltételek teljesülnek:

1) létezik n lineárisan független vektor;

2) olyan rendszer n + 1 vektorok lineárisan függ.

Ezután az n szám az úgynevezett dimenziója V. Ha a tér egy elemet tartalmaz, akkor a dimenzió beállítása egyenlő 0.

Által megadott dimenzió (az angol dimenziója -. Dimenzió).

8. meghatározása tér V n dimenziós lesz az úgynevezett n-dimenziós térben.

Definíció 9. Az alapja az n-dimenziós tér bármely rendezett halmaza n lineárisan független vektor.

Teorema.Esli - alapján n-dimenziós térben V, akkor bármilyen vektort ezt a teret lineárisan kifejezve vektorok. t. e.

Let. Ekkor a rendszer n + 1 vektorok lineárisan függő, m. F ..

Száma. t. Hogy. Ellenkező esetben ez lesz a nem-triviális kombinációja a vektorok egyenlő nullával. Fejezzük vektor ennek az egyenletnek:

. QED.

Teorema.Esli - egy olyan rendszer lineárisan független vektor bármely vektor V, és ezt a teret lineárisan kifejezve. a tér V a n-dimenziós.

6. példa Az 1. példában, a tér a három vektor alapját képezik. Ezek lineárisan független, és minden vektor lineárisan kifejezett rajtuk keresztül. Következésképpen a dimenzió a tér azonos három.

Két lineáris tér V. és hagyjuk meg. Ha ezeket a helyeket az elemek között telepített egy levelezés, gyufával. majd írjuk.

Meghatározása 10.Dva lineáris valós térben V nevezzük izomorf, ha azok között elemei létesíthet egy-egy lehetséges úgy, hogy ha. . akkor. ahol - a valós szám.

Teorema.Dva lineáris valós térben izomorfak, akkor és csak akkor, ha van azonos méretű.

Teorema.Esli - alapján a lineáris tér, akkor minden vektor ennek a térnek van egy egyedülálló rendszer a számok, hogy.

Tétel 12.2 feltételezi a egy ilyen rendszer. amely végre. Annak bizonyítására, egyediségét. Tegyük fel, hogy van egy másik rendszerben. úgy, hogy. Aztán.

Csoportosításával szempontjából, megkapjuk

Ebből következik, hogy. mivel a vektorok lineárisan függetlenek. Ez azt bizonyítja, a tétel.