Kernel és kép egy lineáris leképezés „Lineáris algebra
4. igénypont szerinti. Kernel és kép egy lineáris leképezés.
Definíció. Hagyja, hogy a lineáris vektor térképét terek. A mag lineáris leképezés f halmaza:
A kép a lineáris leképezés f halmaza:
Más szóval, a vonal részei a kernel tér vektorokat V amelyek megjelennek a null térben a vektor W, és a kép megjelenítési egyszerűen egy lineáris tartománya az f függvény.
Ha f - lineáris operátor, akkor beszéljünk a kernel és a kép egy lineáris operátor.
Mi található a kernel és a kép a lineáris leképezések példákban ismertetett 2. bekezdés.
1. példa Mivel minden nulla leképezés vektortér megjeleníti null térvektor meghatározását, a mag és a lineáris képmegjelenítés azonnal következik, hogy és.
2. példa Legyen :. Aztán nyilván.
3. példa Let :, ahol A - egy mátrixban a mező fölé méretét. Ezután
- megoldások sokaságát a homogén lineáris egyenletrendszer az ismeretlen, ahol A - mátrix együtthatók;
Vizsgáljuk meg, hogy sokkal több. Jelöljük - a mátrix oszlopait A - oszlop ismeretlen. Ezután a terméket az A által X oszlopban úgy reprezentálható, mint: - lineáris skáláján az oszlopok a mátrix A.
Következésképpen a kép a lineáris leképezés a lineáris span az oszlopok a mátrix:
Megjegyzés. Általában lineáris leképezés nem jelöli levelet, és ugyanabban a levélben, mint a mátrix, amellyel ez határozza meg a leképezést:
azaz ez a térkép, hogy minden oszlop osztja az oszlopot úgy, hogy
Jellemzően, az oszlop által kijelölt levelet, azaz . És ahelyett, hogy beszélünk a kernel és a kép egy lineáris leképezés, mondjuk, a lényege a mátrix, a kép a mátrix, hallgatólagosan arra utal, hogy a kernel és a kép a megfelelő lineáris leképezés.
Így, ebben a jelölési
4. példa Let - természetes homomorfizmus. Nyilvánvaló, hogy a lényege a nulla, azaz Ez áll egy nulla vektor, és a kép a kijelző egybeesik az oszlop mérete:
5. példa Ez könnyen belátható, hogy.
Tétel. Hagyja, hogy a lineáris vektor térképét terek. Ekkor a kernel a lineáris leképezés egy vektor altér a tér, és a kép - vector altér.
Bizonyítás. 1) legyen. Aztán. De f - homomorfizmus tehát,
2). Mivel f - homomorfizmus,
Tétel (A méret a mag és a lineáris kép megjelenítését.) Tegyük fel, hogy a lineáris vektor térképét terek. majd
Bizonyítás. Let - mag alapra. Mivel - a altér V alapján kiegészíteni a nucleus alapján a tér V. Let - V, és ennek alapján a tér
Azt bizonyítja, hogy - alapon, ami azonnal követni fogja a tétel.
Bizonyítsuk be, hogy generálja az altér rendszer. Let - bármilyen vektor altér. Aztán. Felbontjuk x alapján V vektortér:
Itt használjuk a lineáris tulajdonságai homomorphisms f és az a tény, hogy amennyiben
Bebizonyítjuk, hogy a rendszer lineárisan független. enged
Linearitás tulajdonságok
Nézzük bővíteni a v vektor a mag alapján: honnan kapjuk:
Mivel a - alapján a tér V, akkor az összes együttható ezen lineáris kombinációja nulla, azaz rendszer lehet a nulla vektor csak triviális, és ez lineárisan független, QED
Tétel. Homomorfizmus vektor terek izomorfizmus akkor és csak akkor, ha