Irracionális számok wiki
Irracionális szám - ez egy valós szám. ami nem racionális. azaz nem lehet képviselt formájában m n >> frakciókat. ahol m - egész szám. n - természetes szám. Irracionális szám leírható egy végtelen nem periodikus tizedes.
Set irracionális számok általában jelöljük latin nagybetű I> a vastagon szedett betöltetlen. Így: I = R # X2216; Q = \ mathbb \ backslash \ mathbb>. vagyis a beállított irracionális számok a különbség a készletek a valós és racionális számok.
A létezését irracionális számok, vagy inkább szegmensek. aránytalan a szegmens egységnyi hosszúságú, már tudta az ókori matematika: már ismert, például a összeférhetetlensége az átlós és a oldalán a tér, amely egyenértékű a irracionalitásának 2 >>.
Tulajdonságok [| ]
Példák [| ]
Példák igazolása irracionalitás [| ]
Vozvedom állítólagos egyenlőség a tér:
A kanonikus bomlás a bal oldalon a 2-es szám része még fokozatot, és a bővítési 2n 2 - a páratlan. Ezért az egyenlőség m 2 = 2 2 lehetetlen. Így a kezdeti feltételezés volt a baj, és 2 >> - irracionális szám.
Kettes alapú logaritmusának száma 3 [| ]
log 2 # X2061; 3 = m n # X21D2; m = n log 2 # X2061; 3 # X21D2; 2 m = 2 n log 2 # X2061; 3 = (log 2 2 # X2061; 3) n = 3 n 3 => \ Rightarrow m = n \ log _3 \ Rightarrow 2 ^ = 2 ^ 3> = \ left (2 ^ 3> \ right) ^ = ^ 3>
De 2 m> páros, és a jobb oldalon a kapott egyenlőség páratlan. Ez az ellentmondás.
History [| ]
Ókor [| ]
A koncepció irracionális számok hallgatólagosan elfogadta az indiai matematikusok a VII században, amikor Manava (ca. 750 BC -...... Ca. 690 BC) kiderült, hogy a tér gyökerei természetes számok, mint például a 2 és 61, nem lehet világosan kifejezni [forrás nem meghatározott 672 nap].
Az első bizonyíték a létezését irracionális számok szokás tulajdonítani Hippasus a Metapontum (c. 500 BC. BC. E.), Pitagorász. Abban az időben a pythagoreusok hitték, hogy van egy egységnyi hosszúságú, megfelelően kis és oszthatatlan, amely integer szer szerepel semmilyen szegmens [forrás nem meghatározott 672 nap].
Nincs pontos adat a irracionalitás száma bebizonyosodott Hippasus. A legenda szerint ő talált rá tanulmányozása oldalainak hossza a pentagram. Tehát ésszerű feltételezni, hogy ez volt az arany arány [forrás nem meghatározott 643 nap].
Görög matematikusok hívják ezt aránya mérhetetlen nagyságú Alogos (kimondhatatlan), de a legenda szerint nem ad kellő tiszteletet Hippasus. Van egy legenda, hogy Hippasus tett felfedezés amíg úton volt, és dobni más pythagoreusok „az a világegyetemet elem, amely tagadja a tanítás, hogy minden szervezetnél a világegyetem lehet csökkenteni az egész számok és a köztük lévő kapcsolatokat.” Nyitva Hippasus szembesülnek Pitagorasz-matematika komoly probléma, és elpusztítja a mögöttes feltételezés az egész elmélet, hogy a számok és geometriai objektumokat egy és elválaszthatatlan.
Fjodor Kirensky bizonyult az irracionalitás, a gyökerek a természetes számok 17-ig (kivéve, persze, tökéletes terek - 1, 4, 9 és 16), de megáll ott, mint régen az eszköztár algebra nem engedélyezett bizonyítani irracionalitás a négyzetgyöke 17. Arról, hogy mi hogyan is lehetne ez bizonyítja, történészek a matematika számos különböző hipotézis javasolták. Szerint a legvalószínűbb [2] Jean feltételezés Itharius [fr]. ez alapján a tétel, hogy a páratlan négyzet szám osztva nyolc és maradéka egy [3].
Később Knidoszi Eudoxosz (410 vagy 408 BC -.... 355 vagy 347 BC) kidolgozott elmélet arányban, amely figyelembe vette a racionális és irracionális magatartás. Ez volt az alapja a megértése alapvető lényege irracionális számok. Az érték nem tartották egy számot, de a kijelölés szervezetek, mint például a vonalszakaszok, szögek, terület, térfogat, időközönként - szervezetek, amelyek folyamatosan változnak (a modern értelemben vett). Az értékeket szembe szám ami változhat csak „ugrik” az egyik számot, hogy a következő, mint például a 4 és 5. A számok össze a legalacsonyabb oszthatatlan értéket, míg az érték csökkenthető végtelenül.
Mivel nem kvantitatív érték nincs leképezve nagyságát Eudoxus magában foglalhatja, és arányban, és az eltérő értékek meghatározása során a frakció, mint a két mennyiség aránya és az arányok, mint a két egyenlő frakciót. Eltávolítása egyenletekből mennyiségi értékek (számok), akkor elkerülte a csapdát, amely annak szükségességét, hogy hívja irracionális szám értékét. Eudoxus elmélet lehetővé tette a görög matematikusok, hogy óriási előrelépés a geometriában biztosítva számukra a szükséges logikai dolgozó mérhetetlen nagyságát. „Book 10. Elements” Euclid szentelt besorolása irracionális magnitúdója.
Középkor [| ]
Középkor jelölt elfogadását olyan fogalmak, mint nulla, negatív számok, számok és frakciói, első indiai, majd a kínai matematikus. Később csatlakozott az arab matematikusok, akik az első, hogy fontolja meg a negatív algebrai objektumok (együtt és egyenrangú pozitív számokkal), amely lehetővé tette a fejlesztése a fegyelem, most hívott algebra.
Rational [érték] van, például 10, 12, 3%, 6%, és így tovább, mert ezek az értékek kimondott és mennyiségileg. Mi nem racionális, irracionális, és lehetetlen kimondani, vagy hogy a vonatkozó értéket megállapítani. Például, a tér gyökerei számok, mint a 10, 15, 20 - nem négyzetek.
Ellentétben euklideszi koncepció, hogy az értékek az első sorban szegmensek, Al Mahani tekinthető egész számok, és a frakciókat racionális értékeket, és a tér és kocka gyökerek - irracionális. Azt is be a több aritmetikai megközelítés irracionális számok, hiszen megmutatta, irracionalitás következő mennyiségeket:
az eredmény hozzátéve irracionális értékek és racionális, a kivonás eredménye értékének racionális irracionális irracionális kivonás eredménye értékének racionális.
Egyiptomi matematikus Abu Kamil (körülbelül 850 AD -...... Ca. 930 AD) volt az első, aki azt gondolta, helyénvaló elismerni az irracionális szám oldatok másodfokú egyenlet vagy együtthatókat az egyenletekben - elsősorban a formájában egy négyzet vagy köbös gyökerek és a gyökerei a negyedik fokozatot. A X. század iraki matematikus Al Hashimi adta a teljes bizonyíték (inkább, mint a vizuális geometriai demonstráció) az irracionalitás termék hányadosa, és az eredményeket a többi matematikai transzformációk irracionális és racionális számokat. Al Khazin (.... 900 AD - 971 AD) az alábbi meghatározást adja a racionális és irracionális értékek:
Hagyja, hogy a készülék értékét szereplő értéke egy vagy több alkalommal, akkor a [ez] az érték felel meg egy egész ... Minden érték, amely fél vagy egy harmadik vagy egy negyed egyetlen érték, illetve, mint egy egyszeres érték háromötöde ez racionális értéket. Általában bármely értéket, amely annak az egység egyetlen számot egy másik, egy racionális. Ha az érték nem ábrázolható, mint a többszörös vagy része (l / n), vagy több részre (m / n) egységnyi hosszúságú, akkor irracionális, hogy kifejezhetetlen, kivéve keresztül a gyökerekhez.
Sok ilyen ötletek később átvette az európai matematikusok után fordítást latin arab szövegek a XII században. Al Hassar arab matematikus a Maghreb, szakosodott iszlám öröklési jog, a XII században bevezette a modern szimbolikus matematikai jelölése frakciói elosztjuk a számláló és a nevező egy vízszintes vonal. Ugyanolyan jelölésekkel megjelent papírok a XIII században Fibonacci. A XIV-XVI században. Szangamagrámi Mádhava és képviselői a Kerala iskola a csillagászat és a matematika tanult a végtelen sorozat konvergál valamely irracionális számok, mint a pi, és az is kiderült, a irracionalitás néhány trigonometrikus függvények. Dzhestadeva idézett ezek a megállapítások a könyv „Yuktibhaza”.
Új idő [| ]
Folytatás frakciók. szorosan kapcsolódik az irracionális számok (folytatás kitevő ez a szám végtelen akkor és csak akkor, ha ez a szám irracionális), először vizsgálták meg Cataldi 1613, majd ismét került előtérbe a Euler működik, és az elején a XIX században - a Lagrange munkáját. Dirichlet is jelentősen hozzájárult a fejlesztés az elmélet lánctörtekkel. 1761-ben Lambert segítségével lánctörtekkel azt mutatta, hogy # X03C0; nem racionális szám, és hogy e x> és tg # X2061; x x> irracionális bármely nem nulla racionális x. Bár a bizonyítási Lambert nevezhetjük befejezetlen, úgy vélik, hogy elég szigorúak, különösen ha figyelembe vesszük az időt az írás. Legendre 1794-ben, miután a bevezetése a Bessel-függvények - Clifford. azt mutatták, hogy # X03C0; 2> irracionális, ahol irracionalitás # X03C0; Meg kell triviális (a racionális szám a négyzet adna racionális).
A létezése transzcendens számok bizonyította Liouville az 1844-1851 években. Később, Georg Cantor (1873) kimutatta, létüket más eszközzel, és bizonyította, hogy a valós szám minden intervallum tartalmaz végtelen sok transzcendens számok. Sharl Ermit bizonyult 1873-ban, hogy e transzcendens és Ferdinand Lindemann 1882 alapján ez az eredmény azt mutatta, transzcendencia # X03C0; . Proof Lindemann ezután egyszerűsített Weierstrass 1885 még egyszerűsített Davidom Gilbertom 1893, és végül hozta szinte elemi Adolf Hurwitz és Paul Gordan.