Integrálása racionális frakciók
Legyen az integrandus racionális frakciót, ahol - polinomok (polinomok) K-fokban, illetve n. Az általánosság elvesztése nélkül, akkor feltételezhetjük, hogy k példák Javasoljuk továbbá a megoldásának lehetősége integrálok az interneten.
és a szerves polinom R (x), tudjuk, hogyan kell kiszámítani. Erre mutatunk példát, hogyan lehetséges, hogy megkapja a bővítés (1.1). enged
P (x) = x 7 + 3x + 3x 5 6 - 3x3 + 4x2 + x -2, Q (X) = x 3 + 3x 2 + x-2. Osszuk a polinom P (x) polinommal Q (x), mint ahogy mi elosztjuk a valós számok (a határozat megkapja a hosszú osztás számológép). van
Így, kaptunk egész részét a frakció (P hányadosa a polinom Division által polinom Q) R (X) = x 2 + 2x 4 - 4x + 7, és a maradék S (x) = 9x 2 - 14x +12 ettől a Division.
Az algebra alaptétele [6] bármelyike polinom bontható elsődleges tényező, amely képviseli a formában, ahol - a gyökerek a polinom Q (X) sokszor ismétlődik azok sokfélesége.
Hagyja, hogy a polinom Q (x) n különböző gyökerek. Ezután a megfelelő racionális szám lehet leírni, ahol - a számot kell meghatározni. Ha - a gyökér sokfélesége # 945;, majd őt a terjeszkedés részleges megfelelő frakciókat # 945; feltételeket. Ha XJ - egy komplex gyökere multiplicitás valós együtthatók, komplex konjugált - is gyöke multiplicitás # 945; polinom. Annak érdekében, hogy ne kell foglalkozni a komplex számok az integráció a racionális frakciók, a kifejezéseket a bővítése a megfelelő racionális frakciót, megfelelő pár komplex konjugált gyökerek, egyesítjük, és felvett egy egységes kifejezés a formában, ha - a gyökerek multiplicitás egy. Ha - a multiplicitása a gyökerek, hogy azok megfelelnek a feltételeket és a megfelelő bomlás az űrlap
Így a megfelelő integrációs racionális frakciók csökkent az integráció a részleges frakciók, amelyből egy táblázatot, ez megtalálható a rekurziós képlet, amelyet úgy kapunk, integrálásával részeivel. Integrálok, abban az esetben, ahol a nevező rendelkezik összetett gyökereit (diszkriminancia) csökken elosztása egy tökéletes négyzet, a integrálok csere.
Ennek egyik módja a megállapítás a koefficiensek Aj. Mj. Nj a bővítési megfelelő racionális frakció a következő. A jobb oldalon a tágulási meghatározatlan együtthatók Aj. Mj. Nj elvezethet a közös nevezőt. Mivel a nevező a jobb és a bal oldal egyenlő, azonosnak kell lennie, és a számlálók, amelyek polinomok. Egyenlővé együtthatók az azonos hatásköre x (mivel a polinomok megegyezik, ha a együtthatók azonosak hatáskörét x), kapunk egy lineáris egyenletrendszer meghatározására ezeket az együtthatókat.
1. Keresse.
A gyökerek a nevező - x1 = -2 multiplicitás 1 és x2 = 1 multiplicitás 2. ezért x 3 - 3x + 2 = (x + 2) (X1) és 2 integrandust funkció lehet leírni
Ami a közös nevező, megkapjuk
Egyenlővé együtthatók erőkkel x a számlálóban a jobb és bal oldalán a múlt vonatkozásában, megkapjuk
Megoldása ezt a rendszert találunk.
Így
2. Keresse.
A gyökerek a nevező - x1 = 2 multiplicitás 1 és két összetett x2,3 gyökér, = -1 ± i. Ezért x 3 - 2x - 4 = (X-2) (X 2 + 2x + 2), és az integrandus funkció lehet leírni
Ami a közös nevező, megkapjuk
Egyenlővé együtthatók erőkkel x a számlálóban a jobb és bal oldalán a múlt vonatkozásában, megkapjuk
Megoldása ezt a rendszert, azt találjuk, hogy az A = 1, M = 1, N = 2.
Így
Kapcsolódó cikkek