Inhomogén differenciálegyenletek másodrendű
Meghatározása és képletek inhomogén másodrendű vezérlő
Inhomogén lineáris másodrendű differenciálegyenlet állandó együtthatós egy differenciálegyenlet formájában
ahol p és q - tetszőleges valós számok, és a jobb oldali rész - funkció folyamatos integrációs intervallum X.
Az általános megoldás az inhomogén lineáris differenciálegyenlet (1) egy folytonos függvény időközönként X összegével egyenlő az oldat teljes a megfelelő lineáris homogén differenciálegyenlet
és különösebb oldatot az eredeti inhomogén egyenlet (1), azaz,
Módszerek megtalálásához egy adott oldat inhomogén másodrendű vezérlő
Számos módszer megtalálásához egy adott oldat inhomogén lineáris másodrendű differenciálegyenletek állandó együtthatók (1). Ezek a módszerek választjuk típusától függően a jobb oldali - funkciót.
1) Ha a funkció egy polinomiális n-ed-fokú
majd az adott oldatot egyenlet (1) kérik formájában
Itt, - a polinom foka n ismeretlen együtthatók (meg kell határozni), és s - a multiplicitása a gyökerek a karakterisztikus egyenlet a homogén egyenlet (2) (azaz a szám vagy a karakterisztikus egyenlet nulla).
Mivel - egy adott egyenlet megoldása (1), az együtthatók, amelyek meghatározzák a polinom megtalálható a módszer a meghatározatlan együtthatók az egyenletből
a tény, hogy a két polinom megegyezik, ha egyenlő együtthatók megfelelő hatásköre a független változó.
Megtalálja a megoldást az inhomogén lineáris másodrendű differenciálegyenletek állandó együtthatók.
Az általános megoldás az adott egyenlet összegével egyenlő az általános megoldás a megfelelő homogén egyenletet, és egy adott oldatban az inhomogén egyenlet, azaz,
Írunk a karakterisztikus egyenlet és megtalálja a gyökereit:
Kaptunk különböző valós gyöke, és így a kívánt megoldás
Most azt látjuk, egy adott megoldás az inhomogén egyenlet. Mivel a jobb része az eredeti egyenlet a polinom a második fokozat, és az egyik a gyökerek a karakterisztikus egyenlet nulla (ezért, a kitevő s - multiplicitás gyökér - egyenlő eggyel), majd az adott oldatot
ahol az együtthatók ismeretlen. Ezeket meghatározni, mi helyettesítheti ezt a funkciót egy előre meghatározott inhomogén differenciálegyenlet:
És akkor a szükséges partikuláris megoldás
Így, az általános megoldás a differenciálegyenlet adott
Tekintettel egyenlet felel meg homogén lineáris differenciálegyenlet
És akkor az általános megoldás a homogén egyenlet
Mivel a jobb oldali - Funkció - kezdeti inhomogén egyenlet egy másodfokú polinom termék exponenciális függvény, majd az adott oldatot kérik formájában
Ebben az esetben, mivel a homogén egyenlet karakterisztikus egyenlet gyökerek ott.
Ezt behelyettesıtve az eredeti differenciálegyenlet:
Osszuk egyenlővé együtthatók és kitevők tartozik ugyanahhoz a független x változó. Az eredmény egy lineáris egyenletrendszer az ismeretlen együtthatók, és a C:
Ezért, a kívánt adott megoldás
Egy általános megoldás akkor az eredeti inhomogén differenciálegyenlet
Először is, azt látjuk, egy általános megoldást a megfelelő homogén egyenlet. Ahhoz, hogy ezt elérjük, elkészíti és megoldani, hogy a karakterisztikus egyenlet:
Mivel a gyökerek a karakterisztikus egyenlet - komplex konjugált szám, akkor a megoldás a homogén egyenlet
Mivel a jobb oldalán az eredeti, nem-homogén egyenlet nem függvénye egy különleges típusú, ez tovább változhat a konstansok konstansok, beleértve azok funkcióit független változó :. Ezután az általános megoldás neodnorodnogouravneniya kell törekedni formájában:
Ahhoz, hogy megtalálja az ismeretlen funkcióit rendszer (4):
Csökkenti mindkét egyenlet szerint:
Keressük a megoldást, hogy ezt a rendszert a Cramer (Emlékeztetünk arra, hogy az ismeretlen funkciójú, és a rendszerben). A meghatározója a mátrix rendszer (Wronskian):
Azóta a rendszer egy egyedi megoldás. Kiszámítjuk kisegítő determinánsok:
Az első egyenletből megkapjuk integrálásával:
Ezért a kívánt oldatot az eredeti egyenlet