Ineynaya kombinációs vektorok - studopediya
A lineáris kombinációja vektorok az a vektor,
ahol - az együtthatók a lineáris kombináció. Ha a kombináció azt mondják, hogy triviális, ha - egy nem triviális.
Lineáris függés és függetlenség vektorok
A rendszer lineárisan függ
A rendszer lineárisan független
Criterion lineáris függését vektorok
A vektorok (R> 1) lineárisan független, ha, és csak akkor, ha legalább az egyik ilyen vektorok egy lineáris kombinációja a többiek.
Dimenziója a lineáris tér
A lineáris tér V hívják n-dimenziós (amelynek a mérete n), ha az:
1) létezik n lineárisan független vektor;
2) olyan rendszer n + 1 vektorok lineárisan függ.
Megnevezések. n = dim V; .
A rendszer a vektorok nevezzük lineárisan függő, ha létezik olyan nem nulla naborchisel úgy, hogy a lineáris kombináció
vektor rendszer az úgynevezett lineárisan független, ha a eltűnő lineáris kombináció
egyenlőnek kell lennie a nulla minden együttható
A kérdés a lineáris függését vektorok általában csökken a kérdésre, hogy a létezését nem-zéró megoldások a homogén rendszerek lineáris egyenletek együtthatók egyenlő a megfelelő komponenseket a vektor adatok.
Annak érdekében, hogy megtanulják, valamint a „lineáris függőség”, „lineáris függetlenség” vektorok, hasznos, hogy megoldja a problémákat, a következő típusú:
11. Lіnіyna zalezhnіst.І I II kriterії lіnіynoї zalezhnostі.
A rendszer a vektorok lineárisan függő, ha, és csak akkor, ha az egyik a vektor rendszer egy lineáris kombinációja a maradék vektorok a rendszer.
Bizonyítás. Hagyja, hogy a rendszer vektorok lineárisan függ. Aztán ott van egy sor együtthatók. hogy. és legalább egy együttható értéke nullától eltérő. Tegyük fel, hogy. majd
hogy egy lineáris kombinációja a más vektorok a rendszer.
Van egy rendszer vektorok egy lineáris kombinációja más vektorok. Tegyük fel, hogy ez egy olyan vektor. azaz. Nyilvánvaló, hogy. Azt találtuk, hogy egy lineáris kombinációja vektorok egyenlő nullával, és az egyik együtthatók eltér a nullától (egyenlő).
Ajánlat 10.7Esli vektor rendszer tartalmazza a lineáris összefüggés az alrendszer, az egész rendszer lineárisan függ.
Hagyja, hogy a rendszer vektorok alrendszer. . Ez lineárisan függ, azaz a. és legalább egy együttható értéke nullától eltérő. Aztán így lineáris kombinációja. Nyilvánvaló, hogy ez a lineáris kombináció egyenlő nullával, és van egy nem nulla együtthatók között.
12. Base sistemi vektorіv, її A fő vlastivіst.
Base nemnulla vektor rendszert nevezzük egyenértékű lineárisan független alrendszer. Zero-bázis rendszer nem.
Az ingatlan 1:
Base független lineáris rendszer egybeesik magának.
például:
A rendszer a lineárisan független vektor, mert sem az vektorok lehetnek lineárisan degenerált át a többi.
Az ingatlan 2: (Criterion Base)
Lineárisan független alrendszer ennek a rendszernek az az alap, ha és csak akkor lineárisan független, amennyire csak lehetséges.
bizonyíték:
Dana rendszer
szükség
Hagyja, hogy a bázis.
Aztán, definíció szerint, és ha. hol. rendszer lineárisan függ, hiszen lineárisan vyrozhaetsya keresztül. következésképpen lehetővé lineárisan független.
önellátás
Hagyja, hogy a maximális lineárisan független alrendszer, akkor hol.
lineárisan függ lineárisan vyrozhaetsya ennélfogva a rendszer bázis.
Az ingatlan 3: (A fő bázis tulajdonság)
Minden vektor rendszer vyrozhaetsya az alapon keresztül egyedülálló módon.
bizonyíték
Hagyja, hogy a vektor vyrozhaetsya a bázis két módon, akkor:
. majd
13. A rendszer soraiban vektorіv.
Meghatározás: A helyezés rendszer nemnulla vektortérnek vektorok száma vektorok alapja. Helyezett rendszer nulla definíció szerint nulla. Tulajdonságai rank 1) helyezett lineárisan független rendszer egybeesik száma hordozói. 2) A helyezés lineárisan függ rendszerben kisebb, mint a vektorok számát. 3) a soraiban egyenértékű rendszerek azonosak - rank rangot. 4) Grade alatt a rendszer kisebb vagy egyenlő a rangot rendszer. 5) Ha a rang rang. majd egy közös alap. 6) helyezett rendszer nem változik, ha hozzá egy vektor, amely egy lineáris kombinációja más vektorok a rendszer. 7) helyezett rendszer nem változik, ha eltávolítják a vektort, amely egy lineáris kombinációja a más vektorok.
Ahhoz, hogy megtalálja a vektor rendszer rangot, akkor kell használni Gauss és hogy a rendszer egy háromszög vagy trapéz alakú.
14. Ekvіvalentnі sistemi vektorіv.
Átalakítás vektoros adataiból a mátrixban, hogy megtalálják a bázis.
kapjuk:
Most segítségével Gauss lesz preobrazoyvavat trapéz mátrix eszembe:
1) A mi alap mátrixban, akkor törli a teljes első oszlop, kivéve az első sor a második vonjuk az első szorozva. Harmadik vonjuk az első szorozni. és chetvotoy semmit nem fogunk fel, mint a negyedik sor első elemének, vagyis a kereszteződés az első oszlop és a negyedik sor nulla. Kapunk egy mátrix:
2) Most a mátrixban. csomópont sorok 2., 3. és 4. a könnyű megoldásokat, amelyek a mindenkori elem volt edenitsa. Negyedik sor bankközi kínálati, hanem a második, a harmadik, hanem a második és a harmadik a negyedik pozícióba. Kapunk egy mátrix:
3) A mátrix anuliruem minden elem alatt az elem.
Ennek része az új matretsi nulla, nem veszi el a negyedik sorban, a harmadik pedig egy második szorozni. Kapunk egy mátrix:
4) Ismét cserélhetnek egymással mátrix sorokban 3 és 4-helyzetben. Kapunk egy mátrix:
5) A mátrix a hozzá chervotroy harmadik sor szorozva 5. kapjunk mátrixot. ami egy háromszög alakú:
Rendszer. soraikban ugyanazok miatt a rangot ingatlanok és rang rang rang
megjegyzések:
1) Ellentétben a hagyományos módszer a Gauss, amikor a sorban a mátrix minden elemét vannak osztva bizonyos számú, nem kell a jogot arra, hogy csökkentse a mátrix sor alapján a tulajdonságait a mátrix. Ha csökkenteni akarjuk a húr, hogy bizonyos számú, szükséges, hogy csökkentsék a teljes mátrix azt a számot.
2) Ha kapunk egy lineárisan független sor, akkor azt eltávolítjuk a sablont, és cserélje ki a nulla vonalat.
például:
Azonnal nyilvánvaló, hogy a második sor fejezzük át az első, ha az első szorozva 2.
A Chiaki esetben tudjuk cserélni az egész második sor a nullához. kapjuk:
Ennek eredményeként, van egy mátrix, vagy háromszög vagy trapéz alakú szem előtt, ahol nem lineárisan független vektor minden nem nulla vektorok a mátrix és a mátrix lesz egy alap, és a számuk rangot.
Ez csak egy példa a rendszer vektorok formájában egy grafikon:
Adott egy rendszer, ahol. . és. Ennek alapján a rendszer nyilvánvaló és vektorok. mert rajtuk keresztül kifejezett vektorok.
Ez a rendszer grafikus formában fog kinézni:
15. Elementarnі peretvorennya. Sistemi stupіnchatogo szem előtt.
Elemi mátrix - ilyen a transzformációs mátrix, így a mentett mátrixban egyenértékűségét. Így, elemi transzformációk nem változtatják meg a sor megoldást a rendszer lineáris algebrai egyenletek, ami ezt a mátrixot.
Elemi transzformációk alkalmazott eljárás vezetés a mátrix Gauss között háromszög vagy lépcsős formában.
Elementary sorban transzformációk nevezik:
· Inverziós bármely két sor a mátrix;
· Szorozzuk bármely mátrix sor egy konstans. . ebben az esetben a meghatározó növeli k-szor;
· Kívül minden vonal másik sor a mátrixban.
Egyes tanfolyamok lineáris algebra mátrix sor permutációs nem látszanak külön elemi transzformációs annak a ténynek köszönhető, hogy az inverzió bármely két sor a mátrix alkalmazásával állíthatjuk elő bármelyik sorából a mátrix szorzás egy konstans. és amellett, hogy minden sorban másik sor mátrix szorozva egy konstans. .
Meghatározása hasonlóan elemi transzformációk oszlopokat.
Elemi transzformációk invertálható.
Megjelölés azt mutatja, hogy a mátrix lehet útján nyert elemi transzformációk (vagy fordítva).