homogén koordináták
Bármilyen koordinátarendszerben, ahol a pont kétdimenziós ábrázolása (háromdimenziós) tér által meghatározott három (négy) a koordináták (P1. P2. P3 (, P4)) homogénnek nevezzük koordinátarendszerben. Általában, ott kell lennie egy több, mint az n-dimenziós térben száma homogén koordináta: n + 1.
Használata homogén koordináták, általában megszünteti anomáliák merülnek fel, amikor dolgozik derékszögű koordinátákkal, és képviselje összetett átalakításokat a termék több mátrixok.
A geometriai értelmezése az esetben, két-dimenziós térben: beadását a harmadik koordináta, egyenlő egység, lehet kezelni, mint egy átmenet háromdimenziós térben, amelyben működhet csak a síkban z = 1. Meg elképzelni, hogy a számítógép képernyőjén (képsík, a képsík) van egy síkban z = 1:
Abban az esetben a minta kimeneti szakaszt z = 1 vissza erőszakkal rajz ebben a részben - annak érdekében, hogy lehetővé tegyék az alábbi műveleteket:
Ez a művelet a normalizált homogén koordináták:
Összességében transzformáció-típus
A transzformációs mátrix tartalmazza a állandók m és n. az intézkedés alapján, amely azt a pontot eltoljuk m egységek az x tengely mentén és n egységek - Y tengelye mentén:
Due együtthatók és egy transzformációs mátrixot d jelentése növekedés (vagy csökkenés) az a pont koordináta értékeket (x, y) az a és d-szer a x és y tengelyek rendre:
Összesen a teljes körű
Ebben az esetben, ha s <1 будет происходить увеличение значения координат точки (x, y) в s раз; при s> 1 megkapjuk az ellenkező hatást - csökkentését koordináta értékek (x, y) időpontban s.
Forgatás szögben # 952;
itt # 952; - a szög, amelynél szeretné forgatni a pont (x, y). Figyeljük meg, hogy a forgatás a pont (0, 0) egy derékszögű koordináta-rendszerben az óramutató járásával ellentétes!
Megjelenítése vagy tükrözés
Tükrözés viszonylag egyenes y = x (ábra 1.6a.):
· Tükrözés tekintetében sor x = 0 (ábra 1.6b.):
· A tükrözés képest a vonal y = 0 (ábra 1.6c.):
· Tükrözés tekintetében a származási (ábra 1.6D.):
Forgó formák körül tetszőleges pont (m, n) bármilyen szögben # 945;
Végezzen olyan bonyolult átalakítás, meg kell bővíteni, hogy az alapvető műveleteket. Forgó formák körül tetszőleges pont (m, n) bármilyen szögben # 945; Ez három alapvető műveletek: 1) ábrán transzfer vektorba A (-m, -n) kombinálására pont (m, n) a származási; 2) ábra forgási szöggel # 945 ;; 3) hordozó darabokat a vektor A „(m, n), hogy visszatérjen eredeti helyzetébe. Mivel az ábrán képviselhet egy sor pontot, a műveletek 1) - 3) egymás után hajthatjuk végre minden egyes ponton. Megmutatjuk ezt egy példával.
Tegyük fel kívánjuk forgatni a háromszög koordináták A (x, y), B (x1, y1), C (x2, y2) egy pont körül D (m, n) a szög által # 945;. Legyen P-S - pont átviteli mátrix a vektor A (-m, -n), V # 945; - elfordulási szöget mátrix # 945;, Ps - pont átviteli mátrix a vektor A „(m, n).
Tehát van az összes adat elvégzéséhez szükséges komplex átalakítását az első pont - A (x, y):
Pontosan az azonos átalakítások kell végezni a fennmaradó két pontot a háromszög, helyettesítve a megfelelő koordinátái helyett x és y (lásd a folyamatábrát. Ábrán. 1.7). Tehát egy bonyolult művelet van osztva részleges készítmény, és mivel a megfelelő transzformációs mátrix, és a sorrendet, amely mátrixok megszorozzuk, lényegében meghatározza az eredmény.
A központi nyúlvány (perspektivikus)
px + QY + 1 = H - sík.
1. Általában változások mátrixok néha eredmény változik.
2. Mátrix műveletek egymást, lehet szorozni külön, a legfontosabb dolog -, hogy nem változik a sorrendjük (lásd az 1. megjegyzést).
3. A vonalak a fent leírt (affin) transzformációk pass line. Ezért általában újraszámított csak koordináta ábra tetejét, majd a megfelelő csúcsot a kapott alakja van csatlakoztatva, mint az eredeti szám.
Megtalálni a metszéspont két vonal
Tegyük fel, hogy két sor: x + y = 1, 2x - 3y = 0, meg kell találni a metszéspont. A megoldás megtalálható a mátrixok használata. Transzfer az összes feltételt a egyenletek a bal oldali: x + y - 1 = 0, 2x - 3y - 0 = 0; levelet együtthatók az első egyenletben az első oszlopban a mátrix, a második egyenlet - második:
Az az állapot, amelynek értelmében a két vonal metszi a következőképpen néz ki:
| X Y 1 | * M = | 0 1 0 |
Ahhoz, hogy megtalálja a választ kell mindkét oldalát az előző egyenlet szaporodnak a jobb inverz mátrix M-1 (M szorzás és M-1 kapunk egység mátrix E):
| X Y 1 | * E = | 0 1 0 | * M-1
A válasz: a metszéspont a vonalak: X = 3/5, y = 2/5.
· Axonometrikus (téglalap) vetítési
Az affin geometria a rajz eszköze; itt ez a geometria párhuzamos vetítés alkalmazunk, amelyet úgy állítunk elő egy fénysugár a párhuzamos vonalak (lásd. ábra. 3.1 balra). A meghatározója a mátrix-transzformációval a affin geometria nulla. Geometria egy művészi perspektivikus szer ott nincsenek párhuzamos vonalak és egy központi kiemelkedés alkalmazunk, amelyben az összes vonalak konvergálnak egy ponton a horizonton (lásd 3.1 ábra, a jobb ..); annak a ténynek köszönhető, hogy az egyik, két vagy három komponenst a negyedik oszlop a transzformációs mátrix nem egyenlő nulla, és annak meghatározó nem nulla.
A leggyakoribb kétdimenziós és háromdimenziós affin transzformáció. Az alapvető geometriai tulajdonságait: egyenes átalakítása után továbbra is egyenes, párhuzamos - a párhuzamos síkok sík és párhuzamos síkban - párhuzamos. Rajz háromdimenziós tárgy, nem számít-e ez bekövetkezik, vagy a papír a képernyőn végezzük kétdimenziós előrejelzések. A vetítési sík vetített pont minden objektum egy bizonyos módon, hogy a sík vetülete, és ez az úgynevezett képvetítö pontot. Ha a vetülete a összekötő vonal pont a tárgy a megfelelő pont a vetítés, párhuzamos, van egy sík párhuzamos a vetítés. Ha a nyúlvány vonalak konvergálnak egy közös pontban, az eredményül kapott kép nevezzük egy központi kiemelkedés, illetve perspektivikus a tárgy képét.
Mi a következő fontolóra többféle axonometrikus előrejelzések. Figyeljük meg, hogy közülük téglalap (ortogonális) a vetítés - olyanok, amelyek a kiálló sugarak merőlegesek kép síkra. „Axonometrikus” szó és a „négyszögletes” gyakran szinonimaként használjuk.