Hagyja, hogy a potenciális energiája a részecske - studopediya
Végtelenül mély potenciálvölgyben. Spectrum, stacionárius állapotban, a bővülés a eigenfunctions a Hamilton, az átlagos
(Végtelenül mély potenciálgödör szélességben, ld.). Találunk sajátértékei és eigenfunctions a Hamilton-részecske.
Mivel a területek potenciális energia tart végtelenbe, elvárjuk, hogy a hullámfüggvény fog tűnni (egyébként az átlagos potenciális energia a részecskék egyenlő lenne a végtelenig) ezeket az értékeket a koordinátákat. Továbbá, mivel szerint a posztulátumok a kvantummechanika, a hullám függvény folytonos, a pontokat, és a hullám funkció is nulla. Ezért, hogy megtalálják a hullám funkciók és energiáit a stacionárius állapot a meg kell oldani az egyenletet
a területen a peremfeltételek.
Mivel bebizonyosodott, az előző fejezetben, az összes sajátérték nagyobbnak kell lennie, mint a minimális érték a potenciál, úgyhogy az egyenlet megoldásához (1).
Lineárisan független részleges egyenlet megoldásai (1) azok a funkciók, és ahol. Tehát az általános egyenlet megoldása (1) formájában van
A peremfeltételek a lelet. A második peremfeltétel jutunk, hogy egyik, vagy
Az első feltétel vezet nulla döntést. Így nem folyamatos megoldásai (1) egyenlet kielégítő peremfeltételek léteznek csak értékek, amelyeknél a feltétel (3), ahonnan találunk
Energy (5) sajátértékei Hamilton és összhangban a tanait kvantummechanika lehetséges megfigyelhető részecske energia értékeket található egy végtelenül mély potenciál is. Sajátfüggvény megfelelő sajátérték a függvény
Mint amilyennek lennie kellene, mindig is bizonytalan. Ezt meg lehet határozni a normalizációs feltételt. Ez könnyen ellenőrizhető, hogy a funkciók
normalizált egység. Megjegyzendő, hogy ezek a funkciók nem határozott paritás, annak ellenére, hogy mivel az értékek a koordinátákat, amelyek kívül esnek a gödör, minden saját függvény nulla. Azonban, ha a gödör képest szimmetrikusan helyezkedik el a származás, a hullám funkciók a stacionárius állapot lenne egy határozott paritás. Sőt, ebben az esetben sajátfüggvények lehet beszerezni (7) eltolásával őket egy érv
A tudás a spektrum a sajátértékek és eigenfunctions egy részecske egy esetleges jól teszi szerinti posztulátumain kvantummechanika kérdések megválaszolására a lehetséges értékeit az energia a részecskék a különböző országok és azok valószínűségek. Tekintsük néhány példát.
Tegyük fel például, egy részecske a gödör idején a hullám funkció
(Ahol - konstans). Mit mondhatunk a mérési eredményeket az energia a részecske idején? Mi az átlagos energia a részecske az idő függvényében?
Az alapelvek a kvantummechanika kérdések megválaszolására ilyenfajta kell bővíteni a hullámfüggvény egy részecske a eigenfunctions a Hamilton operátor. Használata az ismert trigonometrikus képlet képviseli a kezdeti hullám funkciót a részecskék formájában
(9) egyenlet képviseli az első bővítése a hullám funkciót a sajátfüggvények a Hamilton operátor, amely, így megegyező súlyú képviselte csak a harmadik és a tizenharmadik sajátfüggvények; együtthatók a fennmaradó sajátfüggvények eltűnnek. Ez azt jelenti, hogy az energia mérése egy időben azonos valószın˝uséggel fog adni a harmadik és a tizenharmadik
sajátértékek. Ezért is könnyű megtalálni az átlagos energia a részecskék ezen a ponton
Mivel a Hamilton-operátor az időtől független, akkor annak a valószínűsége különböző értékeinek az energia és az átlagos energia időtől független, ezért ugyanaz lesz bármikor.
Lehetőség van, hogy megoldja a problémát fordított - azaz mérésével energia helyreállítani a hullámfüggvény, és rajta keresztül, hogy megtalálja valószínűségek a különböző lehetséges értékek a megfigyelt és átlagértékeket. Például.
Az energia egy részecske egy végtelenül mély potenciálgödör eltarthat két érték
valószínűségekkel és volt. Vajon az átlagos érték a koordinátákat a részecske ebben az állapotban függ az időtől?
Azt állítják. Mivel a Hamilton-részecskék nem időfüggő, átmeneti általános megoldása a Schrödinger egyenlet
ahol - a sajátértékek és sajátfüggvények a Hamilton operátor, - tetszőleges állandók. Mivel a jelenlegi állapotában az energia a részecske lehet két értéket, majd az összeg (1) tartalmaz két kifejezés megfelel az első és a harmadik sajátfüggvényeket és a maradék együtthatókat nulla. Azaz, a hullám funkció egy részecske bármely pillanatban a formája
hol. (Megjegyzendő, hogy feltételei szerint a hullám funkció helyreáll nem egyértelmű, mert nem lett határozza meg a Fázisfaktorok és együtthatók. Ez a kétértelműség nem fáj, hogy egyértelműen megválaszolni a kérdést, a probléma). Feltétel (14) nincs rögzítve, így az átlagos értékek fizikai mennyiség ebben az állapotban, általában függ az időben. Megtalálható az átlagos érték a koordinátákat a részecske az állam (14) kvantum formulát másodlagos
(A (15) használt reality eigenfunctions). A integrálok az első és a második kifejezés határozza meg az átlagos értéke a koordinátáit az első és a harmadik stacionárius állapot, és ezért egyenlő (ezt igazolja közvetlen számítást integráljainak sajátfüggvények). Mivel a hullám funkciók állandósult állapotok, sőt, tekintettel a gödör közepén, és merőleges az integrálok a harmadik és negyedik szám nullával egyenlő. Tekintettel arra, hogy (3) -ból
Azaz, az átlagos érték a koordinátákat a nem helyhez kötött állam nem függ az időtől. Azonban, ha a tágulási kiindulási részecske hullámfüggvénye sajátfüggvények Hamilton tartalmazná a megfelelő kifejezéseket mind a páros és páratlan stacionárius állapot, a kereszt egyenletekben (15) nem eltűnnek, és a részecskék átlagos koordinátaérték függ időben.
Tekintsük egy másik példát. Hagyja, hogy a hullámfüggvény egy részecske egy lyukat az idő egy
Mik az értékek az energia nyerhető a mérések?
Kibontása a hullám funkció (17) a sajátfüggvények a Hamilton
ahol - a tágulási tényezőjük, amely szerint a fő elveit a kvantummechanika és meghatározzuk valószínűsége különböző energiájú. Mivel a megfelelő funkció - orthonormality az együtthatók megtalálhatók szorozni a (18) egyenletet a saját funkciója és integrálása
Mivel a hullámfüggvény a részecske - még tekintetében furatközéppontra (ez parabola, eltűnik a határon akna) funkciók - páratlan számokat a páros és páratlan, hogy még az integrál (19) értéke nem nulla csak páratlan számok. Ezért, amikor energia mérésére ebben az állapotban is kimutatható az első (megfelel az alapállapotba), a harmadik, ötödik, hetedik, stb sajátértékek. A második, negyedik, hatodik, stb sajátértékei a méréseket ebben az állapotban lehetetlen.