Geometriai alkalmazások határozott integrálok
4.2. geometriai alkalmazások
Határozott integrálok.
Az eredmény a termék tanításokat képesség szorgalom. Ha gondosság nulla, és az összes termék nullával egyenlő, és a képesség, hogy mindenki számára.
A koncepció a határozott integrál széles körben használják a gyakorlatban. Különösen, a határozott integrálok lehet számítani négyzet alakú, hossza görbék, a mennyiségek a szilárd anyagok, stb Ebben az összefüggésben az a kérdés merül fel: milyen esetekben, akkor a koncepció a határozott integrál? Kiderül, hogy akkor a határozott integrál csak abban az esetben, ha a számított érték additív. Ez azt jelenti, hogy a vizsgált érték kifejezhető a részek összessége. Tehát területe a szám négyzetösszege a részek, a hossza a nullával egyenlő a részek összessége, stb Következésképpen ezeket az értékeket ki lehet alakítani szerves összegek, és az a határ, hogy lépjen a határozott integrálok.
4.2.1. Kiszámítása területek síkidomok
Tegyük fel, hogy a funkció nem negatív és folyamatos az intervallumon. Ezután szerint a geometriai jelentése a határozott integrál a görbe alatti terület egyenlő a száma határozott integrál
Példa 4.2.1. Számítsuk ki a területet az ábra által határolt parabola, egyenes vonalak, és az x-tengely.
Határozat. Azt, hogy a rajzot. Szükséges, hogy megtalálják a területet a görbe vonalú trapéz (ábra. 4.2.1). Összhangban a geometriai jelentése a határozott integrál:
Tegyük fel, hogy a funkció nem pozitív és folyamatos az intervallum (ábra. 4.2.2). Ezután a területet a szám a nullával egyenlő a határozott integrál venni a megjelölés „mínusz”:
Intervallumon folytonos függvény az általános formában. Tegyük fel azt is, hogy az eredeti szegmens osztható véges számú pontot időközönként úgy, hogy mindegyikük a függvénye lesz állandó jel. Nézzük, milyen összefüggés van a között a határozott integrál és új területein görbe trapéz.
Vegyük például, az esetben a funkciók ábrán látható. 4.2.3. A terület a szürke alak, azaz egyenlő az algebrai összege megfelelő határozott integrálok:
Példa 4.2.2. Számítsuk ki a területet az ábra vonallal körülhatárolt: a) ,; b) ,.
Határozat. a) Azt, hogy a rajz (ábra. 4.2.4). Mivel a majd
Vegye figyelembe, hogy ha nem veszi figyelembe a jelei az integrandus, mi volna elő
b) Készítsen rajzot (ábra. 4.2.5). Találunk a metszéspontja a parabola tengelyével Ox:
Az ábra azt mutatja, hogy a
Példa 4.2.3. Számoljuk ki a területet az ábra által határolt: ,,,.
Határozat. A rajz (lásd 4.2.6 ..), hogy a kívánt területen S görbe vonalú trapéz OABC kell tekinteni, mint a terület-görbe felett OAB a [0, 2]. Azonban, ez a görbe nem szerint egyetlen egyenlet. Ezért, hogy megtalálja a kívánt négyzet alakú OABC két részre osztani: OAD és DABC. A terület minden egyes, amelyek kiszámítása alapján a geometriai jelentése a határozott integrál. Találunk abszcisszájának pont:
Így, az A pont a koordinátái (1, 1). Ezt követően egy előre meghatározott területen a szám találunk:
Hagyja, hogy a sík alakja a [a, b] korlátozódik a két funkció és grafikonok, és a (lásd. Ábra. 4.2.7). Ezután a keresési terület kiszámítása a következő képlet segítségével:
Ez az egyenlet abból a tényből következik, hogy a terület a szám a különbség összege, vagy területek trapéz megfelelő görbe. Nem számít, grafikonok integrandusok feletti vagy alatti tengely Ox. Fontos, hogy ez a feltétel az egész intervallum integráció.
Példa 4.2.3. Számítsuk ki a terület az ábra által határolt: y = x-x 2 y = -x.
Határozat. Azt, hogy a rajz (lásd. Ábra. 4.2.8). Megtaláljuk a metszéspont a parabola és egy egyenes vonal:
Mivel a [0, 2] x -x 2 ³-X. az előre meghatározott területen a szám egyenlő
Megjegyezzük, hogy a görbe vonalú trapéz képezhető függvényében grafikonon és Oy tengellyel (lásd. Ábra. 4.2.9). Ezután a területet a görbe vonalú trapéz felírható
Ilyen esetben meg kell jegyezni, mert ez jelentősen csökkenti a számítást.
Példa 4.2.4. Számítsuk ki a területet az ábra által határolt parabola: y 2 és y = 2x 2 = 6-x (ábra 4.2.10.).
Határozat. Arra törekszünk, a terület az alak a tengelyhez képest Oy. Az ordináták A metszéspontok a vonalak egyenlő y1 = -2 és Y2 = 2. ezért
Próbáld számítani a területet az ábra relatív osiOx.