gauss

Két rendszerek lineáris egyenletek úgynevezett egyenértékű. ha a beállított mindegyikük azonos megoldásokat.

Elemi transzformációk egy egyenletrendszer - jelentése:

1. Törlése triviális egyenletrendszer, azaz azok, amelyekben minden együttható nulla;
2. A szorzás bármely egyenlet számos nullától eltérő;
3. Amellett, hogy bármely i-edik egyenlet bármilyen j -Ez egyenletet szorozva tetszőleges számú.

Változó xi úgynevezett szabad. Ha ezt a változót nem megengedett, és az egész rendszer egyenletek - megengedett.

Tétel. Elemi transzformációk alakítjuk ekvivalens egyenletrendszer.

Hogy mit jelent a Gauss módszer lényege, hogy megtérít az eredeti egyenletrendszert és kap az egyenértékű engedélyt vagy az ezzel egyenértékű inkompatibilis rendszer.

Tehát, Gauss módszer áll a következő lépéseket:

1. Vegyük az első egyenletben. Válassza ki az első nem nulla együttható és felosztják a teljes egyenlet hozzá. Kapunk egy egyenlet, amelyben a változó xi tartozéka együttható 1;
2. Kivonásával ez az egyenlet a többi, megszorozva az ilyen számokat, hogy az együtthatók változó xi fennmaradó egyenletek vissza. A rendszer használata engedélyezett a változó xi. és ekvivalens az eredeti;
3. Ha triviális egyenlet (ritka, de például 0 = 0), és törölje őket a rendszerből. Ennek eredményeként egyenletek egyike lesz kevesebb;
4. Ismételjük meg az előző lépéseket legfeljebb n-szer, ahol n - az első számú egyenletek a rendszerben. Minden alkalommal, amikor úgy döntünk, hogy a „feldolgozás” az új változó. Ha vannak ütköző egyenletek (például 0 = 8), a rendszer inkonzisztens.

Ennek eredményeként, néhány lépés után megkapjuk minden engedélyezési rendszer (esetleg szabad változók), vagy nem kompatibilis. Megengedett rendszer sorolhatók két esetben:

1. A változók száma megegyezik a számát egyenletek. Ennélfogva, a rendszer meghatározott;
2. A változók száma meghaladja a száma egyenletek. Mindezt szabad változók a jobb oldalon - kap egy képletet a megengedett változókat. Ezek a képletek és írásbeli vissza.

Ez az! A lineáris egyenletrendszer megoldódik! Ez egy meglehetősen egyszerű algoritmus, és annak fejlődését nem feltétlenül vonatkoznak a tutor a magasabb matematika. Vegyük ezt a példát:

Feladat. Problémák a egyenletrendszert:

1. Kivonjuk az első egyenletben a második és a harmadik - lehetővé változó x 1;
2. Szorozzuk meg a második egyenletet (-1), és elosztjuk a harmadik egyenlet (3) - kapjuk két egyenlet, amelyben egy x változó 2 tartalmaz egy faktor 1;
3. Mi adjuk hozzá a második egyenletben az első és a harmadik - kivonni. Engedélyének megszerzését változó x 2;
4. Végül, kivonjuk a harmadik egyenlet az első - engedélyek beszerzése változó x 3;
5. Kapunk jogosultsági rendszere, írja le a választ.

Az általános megoldás egy lineáris egyenletrendszer - ez egy új rendszer, amely egyenértékű az eredeti, amelyben minden változót kifejezve a megengedett ingyenes.

Ha szüksége lehet egy általános megoldás? Ha van, hogy kevesebb lépésben (k - hány egyenlet). Azonban, az okok, amelyek a folyamat véget ér egy lépésben l

1. Miután l -edik lépésben kiderült rendszer, amely nem tartalmazza az egyenlet száma (l + 1). Tény, hogy ez jó, mert Az engedélyezési rendszer is kap - még ha csak néhány lépést, mielőtt.
2. Miután az L-edik lépésben, így kapunk egy egyenlet, amelyben az összes együtthatóit változók nullával egyenlő, és az állandó együttható nem nulla. Ez ellentmondásos egyenlet, és így a rendszer nem felel.

Fontos megérteni, hogy a megjelenése az ellentmondásos egyenlet Gauss módszer - ez ésszerűen összeférhetetlenséget. Ugyanakkor megjegyezzük, hogy ennek eredményeként az L-edik lépésben nem maradhat triviális egyenletek - ezek törlésre kerülnek közvetlenül a folyamatba.

Feladat. Fedezze fel a kompatibilitás, és találni egy általános megoldást a rendszer:

1. Kivonjuk az első egyenletben szorozva 4, a második. Is hozzá az első egyenletben a harmadik - lehetővé teszi változó x 1;
2. Mi vonjuk ki a harmadik egyenlet szorozva 2, a második - ellentmondásos kapjunk egyenlet 0 = -5.

Tehát a rendszer inkonzisztens, mivel talált egy ellentmondásos egyenlet.

Feladat. Fedezze fel a kompatibilitás, és találni egy általános megoldást a rendszer:

1. Kivonjuk az első egyenletben a második (pre-kettővel megszorozva), és a harmadik - lehetővé változó x 1;
2. Kivonva a második egyenletet a harmadik. Mivel minden együttható ezekben egyenletek ugyanazok, a harmadik egyenlet lesz triviális. Ugyanakkor a második egyenletet megszorozzuk a (-1);
3. Vonjuk ki a második az első egyenletből - kap engedélyt változó x 2. A teljes egyenletrendszer most is megengedett;
4. Mivel az x 3 és x 4 - állás, átadják a jogot arra, hogy kifejezze megengedett változókat. Ez a válasz.

Így, az illesztőrendszer és bizonytalan, mivel a két engedélyezett változó (x 1 és x 2), és a két szabad (x 3 és x 4).

1. Munkavégzés képletek a probléma B12
2. Összeadása és kivonása frakciók
3. tétele Térség
4. Általános rendszere megoldást B15 feladatok
5. A legmagasabb és a legalacsonyabb érték

• Ingyenes Felkészülés a vizsgára 7 egyszerű, de nagyon hasznos tanulságokat + házi feladat
• 

Kapcsolódó cikkek

• Mathmetod - Gauss módszer

• Módszer bevezetésének paraméter, algebra

• MRI - erősségek, gyengeségek, modern módszerekkel