Előadás kumulatív és differenciális eloszlásfüggvény a valószínűségi változó és tulajdonságaik
LEKTsIYaIntegralnaya és differenciál-értékű eloszlásfüggvény SLN-valószínűségi változó, és azok tulajdonságait.
Az összes fent említett esetben a véletlen változó határoztuk meg, hogy a nagyságát értékek és valószínűségek ezeket az értékeket.
Azonban ez a módszer alkalmazható nem mindig. Például abban az esetben, folytonos valószínűségi változó, értéke lehet tölteni egy tetszőleges intervallumban. Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben állítsa az összes értéket egy véletlenszerű változó egyszerűen irreális.
Még abban az esetben, ha meg lehet csinálni, gyakran a probléma megoldódik nagyon nehéz. Tekinthető csak egy példa, még egy viszonylag egyszerű feltétel (csak négy eszközök) vezet egy meglehetősen kényelmetlen számítások, és ha a probléma néhány száz egységet?
Ezért a probléma merül fel, azt a lehetőséget, hogy megtagadják az egyéni hozzáállás minden problémát, és megtalálni a lehető a leggyakoribb módja, hogy meghatározzák azokat a típusú valószínűségi változók.
Nézzük - a tényleges szám. Esemény valószínűsége, hogy X értéket vesz fel x-nél kisebb. t. e. X elosztó Opredelenie.Funktsiey úgynevezett F (x) függvény, ahol meghatározzuk annak valószínűségét, hogy egy véletlen X változó eredményeként a teszt kerül kisebb érték x. Az eloszlásfüggvény is nevezik a beépített függvény. eloszlásfüggvény létezik folytonos és a diszkrét valószínűségi változók. Teljesen jellemzi egy véletlenszerű változó, és egy olyan forgalmazási forma. A diszkrét véletlen változó, az eloszlásfüggvény a formája: Az egyenlőtlenség jele az összeget mutatja, hogy az összegzés felett lehetséges értékeit a véletlen értékek kisebbek, mint az érvelés x. A eloszlásfüggvénye diszkrét X valószínűségi változó nem folytonos, és szabálytalan növekszik, amikor áthalad az egyes értékek xi. Az ingatlan az eloszlási függvény .. Ha a gyakorlati problémák megoldásában gyakran pontosan véletlen változó jogszabályok nehéz. Azonban az összes kapcsolódó folyamatok valószínűségi változók lehet osztani többféle, amelyek mindegyike lehet társítva - minden forgalmazási jogot. Megvizsgáltuk többféle diszkrét véletlen változó eloszlása, mint a binomiális eloszlás és Raspredelenie Puassona. Nézzük bizonyos típusú eloszlás folytonos véletlen változó. (Csebisev Pafnutiy Lvovich (1821-1824) - magyar matematikus) A gyakorlatban nehéz megmondani, hogy mi az adott értéket vesz egy valószínűségi változó, azonban a hatása alatt számos különböző tényező, a viselkedés a nagyszámú véletlen változók majdnem teljesen elveszti véletlenszerű és természetes lesz. Ez a tény nagyon fontos a gyakorlatban t. K. Lehetővé teszi, hogy előre a tapasztalat eredményeként kitéve nagyszámú véletlenszerű tényezők. Ez azonban csak akkor lehetséges, bizonyos feltételek mellett, amelyek által meghatározott nagy számok törvénye. A nagy számok törvénye a Csebisev-tétel (a leggyakoribb eset), és Bernoulli-törvény (a legegyszerűbb eset), ami lesz szó később. Tekintsük a diszkrét véletlen X változó (bár minden lesz elmondjuk alább tart folyamatos valószínűségi változók), egy előre meghatározott kiosztási táblázat: Ez szükséges, hogy meghatározzák a valószínűsége, hogy a szórás értéke valószínűségi változó annak matematikai elvárás nem lesz több, mint egy meghatározott számú e. Tétel. (Csebisev-egyenlőtlenség) Annak a valószínűsége, hogy az eltérés a véletlen X változó annak elvárás abszolút értéke kisebb, mint a pozitív chislae nem kevesebb, mint. Felhívom a figyelmet, hogy abban az esetben n független vizsgálatok szabad elfelejteni, hogy ez a képlet egy másik Teorema.Esli X1, X2, ..., HN- egymástól független véletlen változók, ahol a diszperzió egyenletesen korlátozott (nem haladhatja állandó számú), majd, mivel nem volt pozitív elég chisloe valószínűsége egyenlőtlenség önkényesen közel egy, ha a szám a véletlen változók elég nagy. . Ez azt jelenti, tudjuk írni: Gyakran előfordul, hogy a valószínűségi változók azonos elvárás. Ebben az esetben, a Csebisev-tétel némileg egyszerűsített: A frakció egy részét a felvett fenti kifejezés nem más, mint a számtani átlagát lehetséges értékei valószínűségi változó. A tétel azt mondja, hogy bár minden egyes érték egy véletlen változó lehet egészen más a matematikai várakozásokat, de a számtani átlagát, ezeket az értékeket végtelenül közelebb a számtani átlaga az elvárásoknak. Ettől eltérően az elvárás mind pozitív, mind negatív irányba, annak matematikai elvárás, a számtani átlag kioltják egymást. Így, az érték a számtani középértékek a valószínűségi változó karakter veszít véletlenszerűséget. Legyen gyártott n független vizsgálatok, amelyek mindegyikében a valószínűsége egy esemény A jelentése megegyezik a p. Lehetséges felbecsülhetik relatív gyakorisága az esemény bekövetkezése A. Teorema.Esli az egyes n független kísérletek valószínűsége p előfordulásának esemény A jelentése állandó, önkényesen, az egységhez közeli valószínűsége, hogy a relatív frekvenciatávolsága a valószínűsége p abszolút érték tetszőlegesen kicsi, ha a kísérletek száma p elég nagy. Itt m - az előfordulások számát az esemény egy nem következik a fenti, hogy megnőtt a kísérletek száma, a relatív gyakoriság szilárdan kiáll a valószínűsége p. t. e .. A tétel azt jelenti, csak a valószínűsége, hogy a relatív gyakoriság megközelítés előfordulási valószínűsége az A esemény minden vizsgálatban. Ha a valószínűségét az esemény egy, az egyes vizsgálatokban különböző, akkor az alábbi tétel, ismert, mint a Poisson-tétel. Teorema.Esli készült n független kísérlet és a valószínűsége egy esemény A mindegyik kísérletben egyenlő pi, majd az f frekvencia növekedésével az esemény A konvergál valószínűsége, hogy a számtani átlaga valószínűségek pi. Mint már említettük, egy kellően nagy számú vizsgálatok meghatározott azonos feltételek mellett, jellemzőit véletlenszerű események és véletlen változók vált szinte nem véletlen. Ez lehetővé teszi, hogy az eredmények a megfigyelések véletlen események előrejelzésére adott kísérletre. Határeloszlás valószínűség közötti kapcsolatot határozzák meg az elméleti és kísérleti jellemzőit véletlen változók nagyszámú vizsgálatok. A fenti nagy számok törvénye sem esett szó a törvény eloszlás valószínűségi változók. Mi jelent a probléma megtalálni a határt a törvény összeg elosztása ha a szám a kifejezések n növekszik a végtelenségig. Ezt a problémát úgy oldjuk meg, Ljapunov centrális határeloszlástétel, amelyet a fenti módon elkészítve. A körülményektől függően eloszlásának valószínűségi változók Xi. képező összeget, különböző készítmények a centrális határeloszlástétel. Tegyük fel, hogy a valószínűségi változók Xi egymástól függetlenek és azonos eloszlásúak. Teorema.Esli véletlenszerű velichinyXi, egymástól független és azonos elosztó törvény átlagos m és dispersieys2, ahol van egy harmadik abszolút momentn3, amikor korlátlan növelése a vizsgált összeg eloszlása jog n tetszőlegesen közel normális. Tétel. (Moivre Tétel - Laplace) Ha f készült független kísérlet, amelyek mindegyikében egy esemény egy bekövetkezik p valószínűséggel, akkor minden intervallum (a, b) a következő összefüggés áll fenn: ahol = Y - az előfordulások számát az A n vizsgálatokban, q = 1 -p, P (X) - Laplace funkció - normalizált Laplace funkciót. De Moivre - Laplace viselkedését írja le a binomiális eloszlás nagy n. Ez a tétel lehetővé teszi számunkra, hogy egyszerűsítse a kiszámítása binomiális eloszlás formula. Kiszámítása a valószínűsége, hogy az érték a véletlen érték egy előre meghatározott intervallum nagy n rendkívül nehéz. Sokkal könnyebben használható képlet: De Moivre - Laplace igen széles körben használják a gyakorlati problémák megoldásában. Példa. Az esemény valószínűsége egy minden vizsgálatban 0,3. Segítségével Csebisev-egyenlőtlenség megbecsülni a valószínűsége, hogy a 10.000 vizsgálatok eltérést a relatív előfordulási gyakorisága az esemény egy a valószínűsége, hogy nem haladja meg az abszolút érték 0,01. Összhangban az egyenlőtlenség Csebisov valószínűsége, hogy a valószínűségi változó, tért el elvárás lenne kevesebb, mint egy bizonyos számú e, hogy korlátozott összhangban egyenlőtlenség. Meg kell határozni a várható értéke és szórása számának előfordulása esetén egy egy kísérlet. Az események egy véletlen változó vehet két érték egyikét: 1- esemény megjelent 0- esemény megjelent. A valószínűség értéke 1 egyenlő a valószínűsége p = 0,3, és a valószínűségi érték annak a valószínűsége, a nem-előfordulási 0- esemény A A definíció szerint az elvárás van: Abban az esetben n független kísérletek azt kapjuk Ezek az egyenletek már említettük. A mi esetünkben, megkapjuk: Annak a valószínűsége, a relatív frekvenciatávolsága esemény bekövetkezése A n vizsgálatokban a valószínűsége, hogy egy értéket meg nem haladó e = 0,01 jelentése: Expression származó ezeket az egyszerű transzformációs nem más, mint a valószínűsége szórása m számú események egy a várható értéke, hogy nem nagyobb, mint d = 100. Szerint a Csebisev egyenlőtlenség, ez a valószínűség nem kisebb, mint az összeg Példa. Hány példány ellenőrizni kell a valószínűség nem kisebb, mint 0,96, várható volt, hogy az abszolút értéke a relatív frekvencia eltérés megfelelő részeit a valószínűsége, hogy a hibás terméket azonos legyen 0,98, nem haladja meg a 0,02. feladat helyzetben valójában azt jelenti, hogy az egyenlőtlenséget: Ahol n - számos alkalmas komponenseket, azaz - száma beolvasott elemek. Alkalmazni a Csebisev egyenlőtlenség azt átalakítja ezt a kifejezést: A szaporítás után a kifejezés zárójelben, a m megkapjuk a valószínűsége eltérés abszolút mennyisége megfelelő összetevők matematikai elvárás, ezért lehetőség van arra, hogy alkalmazza a Csebisev egyenlőtlenség, t. E., Ez a valószínűség nem lehet kevesebb, mint az érték, és azzal a feltétellel, a probléma is nem kevesebb, mint 0,96. Így megkapjuk. Amint azt már az előző probléma, a szórás megtalálható a képlet. E. végezni a szükséges feltételek legalább 1225 alkatrészek. Példa. A napi szükséglet villamos a falu egy valószínűségi változó, amelynek elvárás egyenlő 3,000 kW / h, és a szórást 2500 felmérni a valószínűsége, hogy a következő napon az áramfogyasztás ezen a településen lesz 2500-3500 kW / h. Ahhoz, hogy megtalálja a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen változó alá a megadott tartomány: Extrém értékek tartománya eltérni az elvárás ugyanazon az értéken, azaz - a 500. akkor tudjuk írni az egyenlőtlenség Chebyshev: E. A kívánt valószínűsége nem lehet kevesebb, mint 0,99. Példa. A szórás az egyes 2500 független valószínűségi változók nem nagyobb, mint 3. mekkora a valószínűsége, hogy az abszolút értéke az eltérés a számtani átlagát képezte véletlen változók számtani középértéke a matematikai várakozások nem haladja meg a 0,3-et. Ahhoz, hogy megtalálja a valószínűsége Csebisev egyenlőtlenség esetén az összeg véletlen változók a következő formában: Ha a szórás nem haladja meg a 3, nyilvánvaló, hogy a diszperziós nem haladja meg a 9. mennyisége e a probléma állítás 0.3. Aztán. Ebből megkapjuk az n = 2500: Példa. Szelektív ez szükséges, hogy meghatározzuk az átlagos hossza a gyártott alkatrészeket. Meddig kell vizsgálnia a részleteket a valószínűsége nagyobb, mint 0,9, akkor lehetne azzal érvelni, hogy az átlagos hossza a választott termék más lesz a várható átlag (az átlagos hossza részei az egész párt) nem több mint 0,001 cm. Úgy találtuk, hogy az átlagos szórás adatai hossza nem haladja meg a 0,04 cm. A hipotézis, ha a standard eltérés kisebb, mint 0,04, a diszperzió nyilvánvalóan nem haladhatja meg a (0,04) 2. Mint ahogyan azt a feltételt, hogy Ha átalakítani az arány zárójelben, majd alkalmazza a Csebisev egyenlőtlenség, megkapjuk: E. hogy elérjék a kívánt valószínűség szükséges kiválasztani több mint 16.000 alkatrész. A fent leírt megközelítéssel, mint látható, megoldani sok tisztán gyakorlati problémák. Példa. Annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott rész lesz hibás, minden ellenőrzés azonos, és egyenlő a 0,2. Határozza meg a valószínűsége, hogy köztük 50 véletlenszerűen kiválasztott részeit hibás lesz legalább 6. Ahhoz, hogy a tétel Moivre - Laplace megtalálják a várható értéke és szórása számának hibás alkatrészek 50 - ti választott: Tény, hogy a probléma az, hogy meghatározza a valószínűsége, hogy a hibás alkatrészeket lesz legalább hat, de nyilvánvalóan nem egy 50 perces. Az értékek a Laplace funkció az asztalon. Természetesen, a Laplace funkció (10) van egy tábla, de t. A. A táblázatokban azt mutatja, hogy az F (3) = 1,0000, minden érték meghaladó mennyiségek 3 is egyenlő 1. Továbbá cm. Laplace funkciót. Példa. Ismeretes, hogy a 60% -a az összes a termékek előállítása az első osztályú termékek. Elfogadó 200 megteszi az első rendelkezésre álló termékek. Mi a valószínűsége annak, hogy egy részük lesz 120-150 példány első osztályú? Annak a valószínűsége, hogy a tétel lenne az első osztályú, nyilvánvalóan egyenlő 0,6. A várható száma az első osztályú termékek: By tétel de Moivre - Laplace kap: Példa. Az ellenőrzés megállapította, hogy 96% a termékek nem kevesebb, mint a garantált idő. 15000 véletlenszerűen kiválasztott cikkek. Annak a valószínűsége, hogy az élettartam kevesebb garantált, hogy 570-630 termékeket. Annak a valószínűsége, hogy az élet a termék kevesebb, mint a garantált egyenlő: A várható száma az ilyen termékek még mindig By tétel de Moivre - Laplace kap:
Tehát a fent tárgyait példában eloszlásfüggvénye a következő alakú:Kapcsolódó cikkek