Egyenletek elkülöníthető változók
A differenciálegyenlet az elsőrendű \ (y „= f \ left (\ right) \) nevezzük az egyenlet szétválasztható változókat. ha a funkció \ (f \ bal (\ right) \) lehet ábrázolni, mint a termék két funkciót, hogy csak attól függ \ (x \) és \ (y: \) \ [f \ left (\ right) = p \ bal ( x \ right) h \ bal (y \ jobbra), \] ahol \ (p \ bal (x \ jobbra) \) és \ (h \ left (y \ right) \) - folytonos függvény.
Figyelembe véve a származékot \ (\), mint az arány a különbségek \ (\ nagy \ frac >> \ normalsize, \) mozog \ (dx \) a jobb oldalon, és felosztják a egyenlet \ (h \ bal (y \ jobbra): \) \ [ \ frac >> = p \ bal (x \ right) h \ bal (y \ jobbra), \; \; \ Rightarrow \ frac >> = p \ left (x \ right) dx. \] Természetesen meg kell győződnie arról, hogy az \ (h \ left (y \ right) \ ne 0 \) Ha van egy szám \ (\) át ahol \ (h \ bal (> \ right) = 0, \), akkor ez a szám is egy megoldás a differenciálegyenlet. Division által \ (h \ bal (y \ right) \) elvesztéséhez vezet az említett megoldások. Jelölő \ (q \ bal (y \ right) = \ nagy \ frac> \ normalsize, \) levelet az egyenlet formájában: \ [Q \ bal (y \ right) dy = p \ bal (x \ right) dx \. ] most, a változók vannak osztva, és tudjuk integrálni a differenciálegyenlet: \ [\ int = \ int + C, \] ahol \ (C \) - a folyamatos integráció.
Kiszámítása integrálok, megkapjuk a kifejezést \ [Q \ left (y \ right) = P \ left (x \ right) + C, \] leírja az általános egyenlet megoldása elkülöníthető változók.
Összes megoldások a differenciálegyenlet \ (y „= - x \.)
Transzformációs egyenlet a következőképpen: \ [>> = - x,> \; \; >>> = - xdx,> \; \;> dy = - xdx> \.] Nyilvánvaló, hogy a felosztás \ (\) nem vezet elvesztése oldatokat, mert \ (> 0 \) után integrációs megkapjuk \ [> dy> = \ int \ right) dx> + C,> \; \;> = - \ frac >> + C> \; \; \; \;> = \ Frac >> + C> \] Ezt a választ fejezhető kifejezetten: \ [>> + C> \ right)> \; \; \; \ ;. Y = - \ ln \ left (>> + C> \ right)> \] Feltételezzük, az utolsó kifejezés, amely a konstans \ (C> 0, \), hogy megfelel a domain a logaritmikus függvény.
Megtalálni egy adott megoldást a differenciálegyenlet \ (x \ bal (\ right) y „= \ ln x + 1 \), feltéve, \ (y \ bal (1 \ right) = - 1 \)
Osztása mindkét oldalról \ (x: \) \ [\ right) \ frac >> = \ ln x + 1> \; \; \ Right) dy = \ frac \ right) dx. >>> \] Azt feltételezzük, hogy \ (x \ ne 0, \), mint a tartomány az eredeti egyenlet a set \ (x> 0 \)
Most keressük meg értékét \ (\) kielégíti a kezdeti feltétel \ (y \ bal (1 \ right) = - 1: \) \ [\ right) ^ 2> + 4 \ bal ( <- 1> \ Right) = \ right) ^ 2> +> \; \; = - 3> \] Ily módon egy meghatározott megoldást a differenciálegyenlet megadhatja a kezdeti állapotban (Cauchy-probléma) által leírt algebrai egyenlettel: \ [2 + 4y = \ right) ^ 2> - 3 \]
Problémák egyenletet \ (y \ bal (\ right) dx = x \ left (\ jobbra) dy. \)
Artwork \ (xy \) minden része nem teszi lehetővé, hogy külön a változókat. Ezért, hogy a változás: \ [. Xy = t \; \; \ szöveg \; \; y = \ frac \] arány a differenciálművet a formája: \ [dy = \ frac >>> \.] Behelyettesítve ezt az egyenlet kapjuk: \ [\ frac \ bal (\ right) dx = x \ left (\ right) \ frac >>> \.] Továbbá, megszorozzuk mindkét oldalán \ (x, \) lehet írni, miután a megfelelő rövidítések: \ [T \ left (\ jobbra) dx = \ left (\ right) \ left (\ jobbra). \] feltételezzük, hogy a \ (x = 0 \) egy oldatot (ez lehet igazolni közvetlen helyettesítés).