Egy végtelen és infinitezimális szekvenciákat, azok tulajdonságait
Definíció 1. Ha minden n értékét a természetes számok halmaza társul egy határozott törvény valós szám. A valós számok halmaza az úgynevezett számozott számsorra.
- tagjai a szekvencia - egy sorozata gyorsírásos. Pl.
2. Definíció két szekvencia adott és. A szekvenciákat az úgynevezett összeg, különbség, a termék és a hányadosa szekvenciák és.
Definíció 3. A szekvencia korlátozott. ha a beállított tagjainak korlátozódik, azaz a van egy szám. úgy, hogy. Egy szekvencia korlátos felett (lásd alább). ha létezik számos olyan M.
Ha a szekvencia nem korlátos, akkor bármely számú létezik egy n szám olyan, hogy. Világos, hogy ha a sorozat korlátos csak alulról, vagy csak fent, akkor korlátlan. Között határtalan szekvenciák választani végtelenül nagy.
Definíció 4. A szekvencia végtelen. ha bármilyen ott N. szám olyan, hogy valamennyi.
Minden végtelenül nagy szekvencia korlátlan, de nem minden korlátos sorozata végtelenül nagy. Egy példa erre az a szekvencia.
5. meghatározása szekvencia nevezett infinitezimális. ha bármilyen ott N. szám olyan, hogy valamennyi.
Mi létre az alapvető tulajdonságait a végtelenül kicsi szekvenciákat.
1. Tétel A összege két szekvencia infinitezimális infinitezimális szekvencia.
Bizonyítás. Let - végtelenül sorrendben. Vegyünk egy tetszőleges, és állítsa be. A definíció szerint van 5 szoba és. úgy, hogy minden és mindenki számára. Let. Aztán mindenki számára, és definíció szerint 5 szekvencia végtelenül. Ez azt bizonyítja, a tétel.
2. Tétel A különbség a két szekvencia infinitezimális infinitezimális szekvencia.
Következmény. A algebrai összege bármely véges számú végtelenül kicsi szekvenciák egy infinitezimális szekvenciát.
3. tétel A terméket a szekvencia által határolt infinitezimális szekvencia egy sorozata infinitezimális.
(Utasíthatja diákok bizonyítani tétel a 2., 3., és ennek következtében a saját).
4. Tétel Minden végtelenül szekvencia határolja.
Bizonyítás. Let - végtelenül sorrendben. Let. Definíció szerint, van egy 5 N. szám olyan, hogy valamennyi. Jelöljük. Ezután minden n. Ez azt bizonyítja, a tétel.
Következmény tételek a 3. és 4. A termék a két (bármilyen véges számú) szekvencia infinitezimális egy infinitezimális szekvenciát.
5. Tétel Ha minden tagja a végtelenül szekvencia megegyező összegű, a másodpercek száma. akkor.
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy éppen ellenkezőleg, azaz hogy. Vegyük. Definíció szerint, van egy 5 N. szám olyan, hogy valamennyi. azaz mindenki számára. és ez nem lehet, mert minden n. Ez az ellentmondás bizonyítja az állítást.
Tétel 6. Ha - végtelenül nagy szekvencia - végtelenül sorozatot.
Bizonyítás. Vegyünk egy tetszőleges, és állítsa be. Aztán, definíció szerint, van egy 4-es számú N. úgy, hogy minden értéket. Ezért mindenki számára. azaz - infinitezimális szekvenciát definíció 5. tétel.
Tétel 7. Ha - egy végtelenül szekvencia és minden tagja a sorozat eltér nullától, akkor a sorrendben - a végtelenül nagy (bizonyítani magamnak).