Egész számok, matematikai, ami tetszik
1. Az oszthatóság egészek. Oszthatóság tulajdonságai. A tétel a maradékos osztás
Definíció. Let - egészek. Azt mondják, hogy a szám osztható, ha leírható formában hol - egész.
Egyébként: - elválasztó.
Let - egészek - egyszerű.
1. Ha a két szám közötti egyenlőség vannak osztva, és a harmadik a szám osztható.
4. Ha van olyan sem.
Példa. Bizonyítsuk be, hogy ha és, akkor.
(A + B + C) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2 (AB + AC + bc) \ Rightarrow2 (AB + AC + bc) \ vdots m, \\
4 (ab + bc + ac) ^ 2 = 4 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) + 8abc (a + b + c),
\ End "title =" \ begin
(A + B + C) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2 (AB + AC + bc) \ Rightarrow2 (AB + AC + bc) \ vdots m, \\
4 (ab + bc + ac) ^ 2 = 4 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) + 8abc (a + b + c),
\ End "style =" vertical-align: -20px; border: none; „/>
ahonnan
2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) \ vdots m, \\
a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ = a ^ 4 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2-2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2)
\ Rightarrow \\
a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 \ vdots m.
\ End "title =" \ begin
2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) \ vdots m, \\
a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ = a ^ 4 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2-2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2)
\ Rightarrow \\
a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 \ vdots m.
\ End "style =" vertical-align: -33px; border: none; „/>
Tétel. Bármely egész szám reprezentálta az egyedüli utat alkotnak a különböző egyenlőség, ahol - egészek. A szám az úgynevezett privát - a fennmaradó osztás.
Példa. Meg lehet osztani a számot, és amikor osztva a hozam a maradékot?
Határozat. Számok osztható 8, az alábbi formájú, és amikor osztva adva maradékot - formában. Tekintsük az összes csoportot, ha elosztjuk N.O.K. . Osztva a fajok száma, és egyikük sem a szétválás nem adja fel az egyensúly.
2. Az összehasonlítás és tulajdonságaik
Definíció. Let - egészek - egy természetes szám. Azt mondják, hogy összehasonlítható a modulo, ha osztva adnak maradéka azonos.
Tétel. hasonló a modulo akkor és csak akkor, ha.
Exercise. Mely maradékok adhat négyzetek egész számok, ha osztva; kocka egészekkel osztva történik?
Példa. Bizonyítsuk be, hogy ha - prime,
Határozat. By hipotézist. Aztán, mivel a
továbbra is annak bizonyítására, hogy a második tényező van osztva.
Ezért, mi a kívánt eredmény eléréséhez.
3. Fermat-tétel és Euler
Tétel (Farm). Ha egyszerű, és nem osztja, akkor
Tétel (Euler). Bármilyen pozitív egész szám relatív prím, és kerül végrehajtásra
Következmény. Tegyük fel, GCD . Aztán.
Példa. Bizonyítsuk be, hogy ha, akkor.
Mindkét esetben azonos. - száma páros viszonylag fix.
4. Példák megoldások nemlineáris egyenletek
1. Oldja meg az egyenletet a pozitív egész számok
Határozat. Bővítjük a bal oldalon az egyenlet a tényezők:
Képviselt, mint a termék két természetes tényező minden lehetséges módon:
Azonosítjuk az egyik olyan tényező, a bal oldalon egy, a másik - a másik. Mi megoldjuk a kapott rendszer. Lehetséges egyszerűsítés: itt a szám, és ugyanazt a paritást.
Megjegyzés. Ha keres teljes megoldásokat is kész lett volna tekinthető bővítése, stb
2. Oldja meg az egész számok az egyenletet
Határozat. Faktoring nem bomlik. fogalmazott:
Amikor egy egész lesz egész, ha ez lehetséges.
3. Mutassuk meg, hogy az egyenletnek nincs egész megoldásokat.
Határozat. Összehasonlítás modulo: ez lehetetlen, mint a négyzetek az egész számok, amikor elosztjuk maradványai képes valamelyik vagy.
Tétel. Száma - egyszerű akkor, ha a kongruencia
Példa (Leibniz tétel). Bizonyítsuk be, hogy a szám prím akkor és csak akkor, ha
Határozat. A tétel Wilson - egyszerű
1. Keresse fennmaradó Division
a) Az utolsó számjegye;
b) az utolsó két számjegye.
3. Mutassuk meg (anélkül, hogy a kalkulátor), amely követi a komponensek száma:
4. Bizonyítsuk be, hogy a sorrendben vannak terek egész számok.
5.a) Ha bármely természeti értékek osztható?
b) Bizonyítsuk be, hogy osztható akkor és csak akkor, ha a szám osztható.
6. Oldja meg az egyenletet egész:
7. Hagyja - egész szám. e osztva?
8. 44 fák a kerület mentén elrendezve, 44 volt vidám kanári (minden fa - által chizhu). Időről időre két csíz egyidejűleg vándorolnak a szomszédos fák különböző irányban (egy - az óramutató járásával megegyező, és a másik - ellen). Bizonyítsuk be, hogy kismalac nem lesz képes teljesíteni ugyanazon a fán.
9. Bizonyítsuk be, hogy az egyenlet
Ez nincs egész megoldásokat.
10. Legyen a szám - egyszerű. Bizonyítsuk be, hogy
ha ugyanazt a - egyszerű, azt bizonyítják, hogy
11. A pozitív egész. Bizonyítsuk be, hogy az összeg az összes pozitív osztója (beleértve) is oszlik.
12. Find a fennmaradó részlege szám egész része.
13. Találd meg az összes egyenlet megoldásai
A természetes számok.