Binomiális tétel, binomiális bomlás közben Pascal háromszöget, egy részhalmaza

A binomiális bomlás közben Pascal háromszöget

Tekintsük a következő kifejezést a hatásköre (a + b) n. ahol a + b jelentése minden bab, és n - egész szám.







Minden kifejezés - ez egy polinom. Minden kifejezéseket látható sajátosságait.

1. Minden egyes expressziós egyetlen kifejezés több, mint a n kitevő.

2. Minden távon, összege fokkal egyenlő n-nel, azaz hogy milyen mértékben a bab épül.

3. Fok kezdődik binomiális foka n és csökkent a 0. Az utolsó kifejezés multiplikátor a. Az első kifejezés nem tényező b, azaz b mértékben 0-val kezdődnek, és növeli a n.

4. együtthatók kezdődik az 1. és növekszik egy bizonyos értéket a „félúton”, majd csökken az azonos értékeket vissza 1.

Nézzük meg több tényező. Tegyük fel, hogy meg akarjuk találni az értéke (a + b) 6. A funkciók már láttuk, ott kell lennie 7 tag
6 A + C1 C2 + 5 b 4 b 2 a + C3 egy 3 b 3 + C4 a 2 b 4 + C5 AB 5 + b 6.
De hogyan tudjuk meghatározni az értékét minden együtthatót, ci. Ezt megtehetjük két módon. Az első módszer kiterjed írása az együtthatók a háromszög, az alábbiak szerint. Ez az úgynevezett Pascal háromszöget:

Sok funkciók a háromszög. Keresse meg annyi, amennyit csak tudsz.
Talán már megtalálta a módját, hogyan kell írni a következő sort számok segítségével a számokat a fenti sort. Egységek mindig oldalán találhatók. Minden megmaradt szám összege két szám felett elhelyezett ezt a számot. Próbáljuk megtalálni a kifejezés értéke (a + b) hozzáadásával 6 következő sorban a funkciók, amit találtam:

Látjuk, hogy az utolsó sorban

Az első és az utolsó szám 1;
a második szám az 1 + 5, vagy 6;
harmadik számjegy 5 + 10, vagy 15;
negyedik szám 10 + 10, vagy 20;
ötödik szám 10 + 5 vagy 15; és
a 6. szám 1 + 5, vagy 6.

Így, az expressziós (a + b) értéke 6,
(A + b) = 6 1 6 6 + 5 + b 15 egy 4 b 2 + 3 B 20 3 + 15 2 B 4 + 6 5 + 1 AB 6 b.

A felálló fokban (a + b) 8. hozzátesszük két sort Pascal háromszöget:

majd
(A + b) 8 = a 8 + 8a 7 b 6 + 28a + 56a 2 b 5 b 3 b 4 + 70a + 56a 4 5 3 b 2 b + 28a + 8ab 6 7 8 + b.

Mi lehet összefoglalni eredményeink a következők.

Binomiális tétel segítségével a Pascal háromszög

Bármely binomiális a + b, és bármilyen természetes szám n,
(A + b) n = C0 egy n b 0 + c1 egy n-1 b 1 + c2 n-2 + b 2. + Cn-1, 1 b n-1 + cn 0 b n,
ahol a számok c0. c1. c2. cn-1. cn venni a (n + 1) sorban Pascal háromszög.

1. példa emelkedett, olyan mértékben,: (u - v) 5.

Megoldás Van (a + b) n. ahol a = u, b = -v, és n = 5 használjuk a 6-dik sora Pascal háromszög:
1 5 10 10 5 1
Aztán ott van
(U - V) 5 = [u + (-v)] 5 = 1 (u) 5 5 + (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) + 10 2 (u) 2 (-v) 5 + 3 (u) (- V) 4 + 1 (-v) = u 5 5 - 5U 4 v + 10U V 3 2 - 10U V 2 3 + 5uv 4 - v 5.
Felhívjuk figyelmét, hogy a tagok a jelek között változik + és -. Amikor a mértéke -v száma páratlan, míg a - jel.

2. példa emelkedett a szintje: (2t + 3 / t) 4.

Megoldás Van (a + b) n. ahol a = 2t, b = 3 / t, és n = 4. Az általunk használt 5-dik sora Pascal háromszög:
1 4 6 április 1
Aztán ott van

Binomiális bomlás értékeit felhasználva a faktoriális

Tegyük fel, hogy meg akarjuk találni az értéke (a + b) 11. A használat hiánya Pascal háromszöget, hogy kell számolni az összes előző háromszög sort, hogy a kívánt számot. A következő módszer lehetővé teszi, hogy elkerüljék ezt. Azt is lehetővé teszi, hogy talál egy bizonyos húr - például a 8. sor - kiszámítása nélkül az összes többi sor. Ez a módszer akkor hasznos, a számítástechnika, statisztika, és használja a binomiális együttható jelölést.
Mi lehet megfogalmazni a binomiális tétel a következő.

Binomiális tétel jelöléseket használva faktoriális

Bármely binomiális (a + b) és bármely természetes szám n,
.

Binomiális tétel is bizonyítja indukció. Ez azt mutatja, hogy miért hívják a binomiális együttható.

3. példa emelkedett a szintje: (x 2 - 2y) 5.

Megoldás Van (a + b) n. ahol a = X 2. b = -2y, és n = 5 Ezután a binomiális tétel, van

Végül, (x 2 - 2y) = x 10 5 - 10-szeres 8 y + 40x 2 y 6 - 80X 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5.

4. példa emelt fok: (2 / x + 3√ x) 4.

Megoldás Van (a + b) n. ahol a = 2 / x, b = 3√ x. és n = 4 Ezután a binomiális tétel, megkapjuk

Végül (2 / x + 3√ x) 4 = 16 / x 4 + 96 / x 5/2 + 216 / x + 216x 1/2 + 81x 2.

Megtalálása egy adott elem

Tegyük fel, hogy meg akarjuk határozni az egyik vagy a másik tagja a kifejezés a kifejezést. A módszer, hogy az általunk kifejlesztett lehetővé teszi számunkra, hogy keressen erre a kifejezésre kiszámítása nélkül az összes sort Pascal háromszög és az összes korábbi tényezők.

Felhívjuk figyelmét, hogy a binomiális tételt ad nekünk az 1. elem, ez ad nekünk egy 2. távon ad nekünk egy harmadik tagot, és így tovább. Ez lehet általánosítani az alábbiak szerint.

Megtalálása (k + 1) tagjai

(K + 1) kifejezés a kifejezést (a + b) n értéke.

5. példa Find 5-én kifejezést az expresszió (2x - 5Y) 6.

Megoldás Először, vegye figyelembe, hogy 5 = 4 + 1, akkor k = 4, A = 2x, b = -5y, és n = 6. Ezután, az 5. kifejezés az expressziós lesz

6. példa Find a 8-ik kifejezés a kifejezés (3x - 2) 10.

Megoldás Először, megjegyezzük, hogy 8 = 7 + 1, akkor k = 7, a = 3x, b = -2 és n = 10. Ekkor a 8. tagja az expressziós lesz

A teljes száma részhalmazok

Tegyük fel, hogy a halmaz n objektumok. A száma részhalmazok rendelkező k elemet ott. A teljes száma részhalmazok száma részhalmazai elemek 0, valamint a száma részhalmazok egy elemet, valamint a száma részhalmazok 2 elemekkel, és így tovább. A teljes száma részhalmazok n elemek vannak
.
Most nézzük hatványozást (1 + 1) n:
.
Szóval A teljes száma részhalmazok (1 + 1) n. vagy 2; n. Bebizonyítottuk, a következő.

A teljes száma részhalmazok

A teljes száma részhalmazainak elemek N egyenlő 2 N.

Hány részhalmaza 7. példa van egy csomó?

A megoldás halmaz 5 elem, akkor a száma részhalmazok 2, 5 vagy 32.

A döntés minden burger tömések tagjai részhalmaza az összes lehetséges tömések, és az üres halmaz csak egy hamburger. A teljes száma a lehető hamburger egyenlő lesz

. Így Wendy 512 élhetnek különféle hamburger.