az egész elem
Így az egész elemek B - éppen a gyökerek a polinomok bemutatott A. Ha minden eleme B egy A. B gyűrű az úgynevezett szerves rasshireniemA (vagy egyszerűen „gyűrűs integrál A»).
Ha A és B - pályát. az „integrál” és „integrált meghosszabbítás” megfelel a „algebrai felett” és „algebrai kiterjesztése.” Speciális eset, ami különösen fontos a számelmélet - komplex számok. vannak integrál Z. Ezek az úgynevezett algebrai egészek.
A készlet minden eleme a A. B. egész gyűrűt képez; ez az úgynevezett egész zamykaniemA B. Egész áramkör racionális számok egy véges bővítménymező k Q nevezzük gyűrű egészek k. Ez a hely alapvető algebrai számelmélet.
Később ezt a cikket, a „gyűrű” kifejezés alatt egy „kommutatív gyűrű identitás.”
- Egész számok - az egyetlen elem integrál K. Z. Bizonyos mértékig ez tisztázza az eredete a „teljes” kifejezés.
- Gauss-Egész. mint elemei a komplex számok, szerves fölött Z.
- Let ζ - gyöke egységét. A szerves lezárás Z egy kör alakú területen Q (ζ) - jelentése Z [ζ].
- Ha k ¯ >> - algebrai lezárását k. A K ¯ [X 1 .... x n]> [x _, \ pontok, x _]> jelentése integrál k [X 1 .... x n]. \ Dots, x _].>
- Hagyja, hogy a véges G csoport hat a gyűrű gyűrű homomorphisms. Akkor A integrál egy sor elemet, melyek a fix pontok az akciócsoport.
Legyen b - gyűrűtag B. A - B. subring következő állítások ekvivalensek:
- b jelentése egész szám, az A;
- Subring A [b] a B gyűrű jelentése véges A-modul;
- Ott subring C gyűrű, amely az A és B b. és A jelentése egy véges-modul;
- Van véges modul M olyan, hogy a gyűrű B. bM ⊂ m b'M = 0, ebből következik, hogy b „= 0.
A harmadik tulajdonság könnyen következtetni, hogy a beállított elemek, egészek A. fenti subring B (zárt az összeadásra és szorzás) az úgynevezett szerves lezárása, hogy B. Ha a egész szám egybeesik a lezárás által gyűrűvel A. egy hívott darabban kialakított zárt B.
Az „intakt” egy tranzitív összefüggés: ha a C gyűrű integrál B és B A. integrál integrál C A.
Szintén a harmadik tulajdonság, hogy ha B integrál A. B egyesület (vagy vele egyenértékű, a közvetlen határ) subrings amelyek véges A-modulokat.
Legyen - darabban kialakított zárt gyűrű hányadost területén a K és L - véges kiterjesztése K. Ekkor L elem integráns felett A akkor és csak akkor, ha a minimális polinom-együtthatók tartoznak A. Ez egy erősebb feltétel, mint az integritás, amely elegendő ahhoz, hogy létezik egy tetszőleges polinom ezzel a tulajdonsággal. Bármilyen faktoriális gyűrű darabban kialakított zárt.
Legyen - Noetherian szerves gyűrűt. Ezután egy egy darabból van zárva, ha, és csak akkor, ha (1) A jelentése a metszéspontja összes oldalak A Prime ideális és (2) lokalizációját a prime ideális magassága 1 (azaz, amely nem tartalmaz más, nem nulla prímszám) - Dedekind gyűrűt. Szintén Noetherian integráltan zárva akkor és csak akkor, ha ez egy gyűrűt Krull.
normál gyűrű
Teljesen integráltan zárt gyűrűt
Legyen - integritástartomány, K - a hányadostest. Egy elem saját területén x majdnem integrál A., ha létezik d ∈ A. hogy d x n ∈ A \ in A> bármely n természetes szám. A gyűrű teljesen integráltan zárva. ha ezek közül bármelyik szinte az egész elemet tartalmaz A. Teljesen darabban kialakított zárt gyűrűk darabban kialakított zárt. Ezzel szemben, Noetherian darabban kialakított zárt gyűrűk teljesen integráltan zárva.
A gyűrű formális hatványsor egy teljesen integráltan zárt gyűrűt teljesen integráltan zárva, mivel ez nem igaz tetszőleges darabban kialakított zárt gyűrű.
Helyi tulajdonságai integráltan zárva
Az alábbi feltételeket az A gyűrű holisztikus egyenértékű:
- Egy darabban kialakított zárt;
- A lokalizáció szerinti minden elsődleges ideális darabban kialakított zárt;
- A lokalizáció szerinti bármely maximális ideális integráltan zárva.
- Ha ↑ lokalizációs kommutat'ıv R gyűrű egész maximális ideálok nem tartalmazhat nilpotents (például integritást), akkor R nem tartalmaz őket. Bizonyítás. Legyen x - nem nulla eleme R és X n = 0. Ann (x) (az elemek, szorzás, melyek nullhelyet x) tartalmazott egy maximális Ideális m >>. A kép a x a lokalizáció m >> - nem nulla, mivel egyébként x s = 0 valamilyen s ∉ m >>. ellentmondás. Ezért, lokalizáció m >> R tartalmaz egy nem nulla nilpotence.
- ↑ Matsumura 1989 p. 64
- Bourbaki, Kommutatív algebra.
- Kaplansky Irving. Kommutatív gyűrű. - University of Chicago Press, 1974. - ISBN 0-226-42454-5.
- Matsumura Hideyuki (1989), Kommutatív Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6.