Angles az egyes felek

Általában tekintve bármilyen irányból a megfelelő párhuzamos oldala vagy oldalai merőleges volt. Vegyük az első eset.

két szög ABC és DEF engedik. Az oldalak párhuzamosak: AB || DE és BC || EF. Ez a két szög vagy egyenlő, vagy ezek összege egyenlő lesz a 180 °. Az alábbi ábra az első esetben ∠ABC = ∠DEF, és a második ∠ABC + ∠DEF = 180 °.

A bizonyíték, hogy valóban ez a helyzet, a következő.

Tekintsük szöget zárnak be a párhuzamos oldalai rendre is találhatók, az első képet. Ugyanakkor kiterjeszteni a vonal AB és EF átlépése előtt. Jelöljük a metszéspont G. Továbbá, az egyértelműség kedvéért, további bizonyítékokat az ábra kiterjesztett BC oldalt.

Mivel a vonalak BC és EF párhuzamos, ha az AB vonal metszi az egyiket, akkor át kell lépnie, és egy másik. Azaz, az AB vonal a keresztmetszete két párhuzamos vonal. Mint ismeretes, ebben az esetben hazugság keresztben metsző szögben egyenlő oldalú hozzá akár 180 °, ahol egyenlő.

Ez az, amit egy pár sarkok van a B és G csúcs (egyik szög egymástól a második), mindig bármelyikének eléréséhez az egyenlő szögek, vagy ami összesen 180 °.

Azonban a sorok az AB és DE is párhuzamosak. Számukra egy közvetlen EF - a transzverzális. Ennélfogva, bármely két csúcsainak szögek G és E összege lesz bármelyik 180 °, vagy egyenlő egymással. Ebből következik, hogy a szögek a pontpár B és E engedelmeskedik ezt a szabályt.

Vegyük például a szögek ∠ABC és ∠DEF. ABC szög egyenlő a szög BGE, mivel ezek a szögek a megfelelő párhuzamos vonalak BC és EF. Viszont BGE szöge egyenlő a szög DEF, mivel ezek a szögek rendre párhuzamos AB és a DE. Így bebizonyosodik, ∠ABC és ∠DEF.

Most nézzük meg a szögek ∠ABC és ∠DEG. ABC szög egyenlő a szög BGE. De ∠BGE és ∠DEG - ez egyoldalú szögek párhuzamos vonalak (AB || DE), keresztbe metsző (EF). Mint ismeretes, az ilyen szögek hozzá akár 180 °. Ha megnézzük a második esetben az első kép, rájövünk, hogy ez megfelel egy pár szögek ABC ° a második képen.

Így a két különböző szögből, amelynek oldalai rendre párhuzamosak vagy egyenlő egymással, vagy adja ki 180 °. Ez azt bizonyítja, a tétel.

Meg kell jegyezni, egy speciális eset - ha a szögek telepített. Ebben az esetben, akkor nyilvánvalóan egyenlő egymással.

Most tekintsük a szögek merőleges oldalról. Ez az eset bonyolultabb, hiszen a relatív pozíciója változatos szögekben. Az alábbi ábra három példákat, hogy a szögek lehet elhelyezni a merőleges oldalán rendre. Azonban minden esetben, az egyik oldalán az első szög (vagy annak meghosszabbítását) merőleges egyik oldalon a második szög és a második oldalon az első szög merőleges a második oldalán a második szög.

Vegyük az egyik esetben. Így az egyik hold szögfelező és átmegy egy tetszőleges pont akkor tartsa a merőlegesek az oldalán a sarokban.

Itt vannak a szögek ABC és DEF rendre merőleges oldalán: AB ⊥ DE és BC ⊥ EF. A felezővonal ABC szög, hogy egy pont a G, amely végzik merőlegeseket hogy ugyanabban a kanyarban: GH ⊥ AB és a GI ⊥ BC.

Tekintsük háromszögek BGH és BGI. Ezek téglalap, mivel ezek a szögek H és I közvetlen. Ezek a bezárt szögek B jelentése a BG - felezővonal ABC szög. Is figyelembe háromszög oldala BG átfogója és a teljes mindegyikre. Mint tudod, derékszögű háromszögek egyenlő, ha azok egyenlő az átfogó és az egyik hegyesszög. Így, ΔBGH = ΔBGI.

Mivel ΔBGH = ΔBGI a ∠BGH = ∠BGI. Ezért HGI szög lehet bemutatni nem összegeként e két szempont, és egyikük szorozva 2: ∠HGI = ∠BGH * 2.

ABC szög felírható az összeg két szög: ∠ABC = ∠GBH + ∠GBI. Mivel a kifejezések szögek egyenlő egymással (.. M alkotnak szögfelező), az ABC szög lehet reprezentálni a termék az egyik, és a 2: ∠ABC = ∠GBH * 2.

A szögek BGH és GBH - ez éles szögek a derékszögű háromszög, majd adjunk hozzá 90 ° -ig. Nézzük meg a méltányosság, a nyerhető:

∠BGH + ∠GBH = 90 °
∠HGI = ∠BGH * 2
∠ABC = ∠GBH * 2

Az utóbbi két oka volt:

∠HGI + ∠ABC = ∠BGH * 2 + ∠GBH * 2

Kiadott egy közös tényező a konzol:

∠HGI + ∠ABC = 2 (∠BGH + ∠GBH)

Mivel a szögek összege a zárójelben 90 °, akkor kiderül, hogy a szögek a HGI és az ABC az összeg akár 180 °:

∠ABC + ∠HGI = 2 * 90 ° = 180 °

Tehát beláttuk, hogy a szögek összege HGI és ABC 180 °. Most nézd meg megint a képet, és visszatér a figyelmet, hogy a szög, amellyel az ABC szög, illetve merőleges az oldalra. Ez a szög a DEF.

Közvetlen GI és EF párhuzamosak egymással, mivel ezek egyaránt merőleges egy egyenesen BC. És mint tudjuk, egyenes vonalak, amelyek merőlegesek egy egyenesen, egymással párhuzamos. Ugyanebből az okból, DE || GH.

Amint azt korábban már bizonyított szögek párhuzamos oldalai vagy rendre hozzá akár 180 °, vagy egyenlő egymással. Ez azt jelenti, hogy vagy ∠DEF = ∠HGI, vagy ∠DEF + ∠HGI = 180 °.

Azonban ∠ABC + ∠HGI = 180 °. Ezért azt a következtetést, hogy abban az esetben, illetve merőleges oldalán vagy sarkok egyenlő, vagy adja ki 180 °.

Bár ebben az esetben már csak kevés bizonyíték az összeg. De ha mentálisan EF nyúlnak az ellenkező irányba, azt látjuk, szög, amely egyenlő az ABC szög, és így merőleges oldali sarokban ABC. Proving egyenlő szögek lehetséges, figyelembe véve a szögek rendre párhuzamos oldala: ∠DEF és ∠HGI.