Altér lineáris tér
Meghatározása és dimenziója altér
Meghatározása 6.1.PodprostranstvomL R n dimenziós tér a készlet vektorok alkotó lineáris tér tekintetében a műveleteket, amelyek meghatározott R.
Más szóval, L R. úgynevezett altér a helyet, ha x, y ∈L következik, hogy x + y ∈L és ha x ∈L. akkor λx ∈L. ahol λ - bármilyen valós szám.
A legegyszerűbb példa a null altér az altér, azaz R. helyet részhalmaza, amely egyetlen elem nulla. Subspace szolgálhat az egész teret R. Ez altér az úgynevezett triviális vagy helytelen.
Altér az n-dimenziós tér véges dimenziós és átmérője nem haladja n: homályos L≤ homályos R.
Az összeg és a kereszteződés altér
Legyen L és M - R térben két altér.
CummoyL + M a halmaza vektorok x + y. ahol x ∈L és y ∈M. Nyilvánvaló, bármely lineáris kombinációja L + M tartozik L + M. Ezért L + M egy altér R (egybeeshet a tér R).
PeresecheniemL ∩M altér L és M jelentése a készlet vektorok, mind tartozó altereinek L és M (állhat csak a nulla vektor).
Tétel 6.1. Számú, tetszőleges dimenzió altereinek L és M dimenziós lineáris tér dimenzió R ezek összege altér és dimenzióját kereszteződés ezen altér
dim L + dim M = dim (L + M) + dim (L∩M).
Bizonyítás. Legyen F = L + M és G = L∩M. Legyen G g-dimenziós altér. Úgy döntünk, hogy alapon. Mivel G ⊂L és G ⊂M. ennélfogva alapján G lehet terjeszteni alapjául az L és az alapjául M. Legyen az alapja a altér L és hagyja, hogy az alapja a altér M. Megmutatjuk, hogy a vektorok
alapot F = L + M. Ahhoz, hogy a vektorok (6.1) képeznek alapján F azokat lineárisan független, bármely vektor tér F leírható lineáris kombinációja a vektorok (6.1).
Belátjuk, a lineáris függetlenség vektorok (6.1). Hagyja, hogy a nulla vektor tér F egy lineáris kombinációja a vektorok (6.1) néhány együtthatók:
lineárisan független. De bármilyen vektor z F (definíció szerint, az összege altér) lehet reprezentálni összege x + y. ahol x ∈L, y ∈M. Az viszont, X jelentése egy lineáris kombinációja a vektorok y - lineáris kombinációjával vektorok. Következésképpen vektorok (6.10) generál altér F. kapott vektorok (6.10) képeznek alapján F = L + M.
Tanulmányozása bázisok a altér L és M, és a szubtéri alapján F = L + M (6,10), van: dim L = g + l, homályos M = g + m, dim (L + M) = g + l + m. ezért:
dim L + dim M-dim (L∩M) = dim (L + M). # 9632;
Direkt összege altér
Meghatározás 6.2. A tér F jelentése egy direkt összege altér L és M, ha minden egyes vektor tér F x lehet az egyetlen módja annak, képviseli, mint az összege x = y + z. ahol y ∈ L és z ∈M.
A direkt összege kijelölt L ⊕M. Azt mondják, hogy ha F = L ⊕M. akkor F közvetlen összegeként altereinek L és M
6.2 Tétel. N dimenziós tér R a közvetlen összege altér L és M ahhoz, hogy a kereszteződés L és M anyag csak a nulla elemet, és hogy a dimenziója R volt összegével egyenlő a méretei a altér L és M.
Bizonyítás. Úgy döntünk alapján a altér L és alapjául az altér M. fogjuk bizonyítani, hogy
az alapja a tér R. By hipotézist, a dimenziója a tér R n egyenlő az összege az altér L és M (n = l + m). Elegendő annak bizonyítása, hogy az elemek (6,11). Legyen nulla vektor tér R egy lineáris kombinációja a vektorok (6.11) néhány együtthatók: