A koncepció alapvető szekvencia
Ezen a ponton, ez egy fontos szempont a konvergens sorozat, akkor a szükséges és elégséges feltétele, hogy létezik egy véges határérték neki. Fontossága és az eredetiség kritériuma az, hogy ha nem vesz részt az érték ellenőrzése a határt. Megfogalmazása ennek a kritériumnak, és a koncepció alapvető szekvenciát alkalmazzuk, ha dolgozik vele.
Meghatározása az alapvető szekvencia
Számsorra úgynevezett alapvető szekvenciát, ha megfelel a következő feltétel: minden szám van egy szám. hogy minden, és az összes egyenlőtlenség
Ezt az állapotot nevezik a Cauchy állapotban. Azt is meg lehet írva a következő:
A geometriai értelmezése a Cauchy feltétel az, hogy tagjai alapvető szekvencia elegendően nagy számok tetszőlegesen közel egymáshoz, mert a távolság bármely két tagja a szekvencia kevesebb, mint bármilyen kis számot. ha a tagok száma több, mint.
Tétel (Cauchy-szekvencia konvergencia kritérium)
Szekvencia véges határérték akkor és csak, ha megfelel a Cauchy feltétellel, hogy alapvető fontosságú.
Tegyük fel, hogy a sorozat konvergens, és mint a határ a számot. Aztán, definíció szerint, van egy véges határ,
Ezért ha Ön és. az
azaz, ha és. ami azt jelenti, hogy az alapvető szekvencia. Így ha bebizonyosodik, hogy ha egy sorozat konvergál, de alapvető fontosságú.
Tegyük fel most, hogy a sorozat alapvető fontosságú. Lássuk be, hogy ez konvergál. A bizonyítás végezzük két szakaszban történik.
Stage 1. Bizonyítsuk be, hogy korlátozott.
Szerint ugyanis a Cauchy feltétele, megadhat egy számot. hogy az egyenlőtlenség, és mikor. Különösen ez az egyenlőtlenség kell teljesülnie. majd
azaz része a szekvencia - számok korlátozott. Ezért nyilvánvaló, hogy korlátozott, és minden alapvető szekvencia.
2. szakasz. Szerint a tétel a Bolzano Weierstrass-korlátozott szekvenciát
akkor mindig kivonat egy konvergens részsorozata. így van. ahol mikor.
Mi most azt mutatják, hogy ez a szám a határ az összes alapvető szekvenciákat. Valóban, az azonos számú levelet a Cauchy feltétele:
Most úgy döntünk alszekvenciájaként a számot, hogy az egyenlőtlenség (ez lehet tenni azáltal, hogy a tény, hogy a). Ezután a Cauchy állapot, amikor és amennyiben van, hogy a
,
azaz az alapján a Cauchy feltételek összeállított becslés közötti különbség egység tagjai a sorozatot, és annak konvergens részsorozata.
Ez azt jelenti, hogy van egy véges határérték alapvető sorrendben. azaz skhoditsya.v
Példa (konvergencia bizonyítéka szekvenciát Cauchy kritérium)
Használata Cauchy kritérium bizonyítani szekvencia konvergenciát. ha
ez elég megmutatni, hogy a sorozat alapvető, azaz hogy vypolnyatesya Cauchy feltétele, hogy:
Megjegyzendő, hogy ez a feltétel azt jelenti
és megbecsülni erre:
Ezután használjuk megbecsülni az utolsó kifejezés a nyilvánvaló egyenlőtlenség
Az összes ilyen becslések kapjuk, hogy
Átadás a határ mindkét részét egyenlőtlenséget:
de a határ a bal oldalon a negatív nem lehet, mert; így továbbra is arra következtetni, hogy
Összhang az alapvető következésképpen konvergál.
5.5. Gyakorlatok az önálló munkavégzésre
Record sorrendben. válasszon ki egy konvergens részsorozata belőle, ha a korlátozott sorozatszámú vagy végtelenül nagy, ha határtalan:
A Cauchy kritérium bizonyítják a konvergencia a szekvenciák. ha:
.
Válaszok a gyakorlatokat az önálló munkavégzésre
1) - miatt korlátozzák a
. . ;
3) - korlátozott, mivel
;
;
4) - korlátlan, de nem végtelen nagy